T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

a
J /(*) < &  = o
a
tenglik o'rinli  deb  kelishamiz.
7-§.  Aniq  in te g r a tin g  xossalari
A w al  aniq integralning tenglik bilan  ifodalanadigan xossalarini  qaraymiz.
b
10.14-xossa  J 1 • 
dx = b — a .
I sb o t 0  Haqiqatan ham,  bunda
f(x )=
1  va ta’ rifga ko'ra
ь 
„
11- 
dx=
 lim V  1- Ax, 
- h - a
  bo'ladi.  ♦
I
10.15-xossa.  Agar
f(x)
  funksiya [
a;b
] da integrallanuvchi bo'lsa, u holda 
kf(x)
(k=
sonst) ham integrallanuvchi  va
ь 
b
|  
k f (x)dx
 = & J  /  (x)t£t
a 
a
bo'ladi.
n 
n 
b
Isbot. 0  Haqiqatan, 
\in)^lcf(^k)Axk
 =  
к
l i m ^ / (£*.) Axfc = 
k \f ( x ) d x .
k
=1 
k
=I 
a
b 
b 
Demak,  J
kf \x )d x
  mavjud va uning qiymati 
f(x)dx
  ga teng.  ♦
267

---

10.16-xossa. 
Aga
ifi(x ) vaf
2
(x)
 funksiyalar 
[a;b] 
da integrallanuvchi bo'lsa, u 
holda 
fi(x)±f
2
(x)
  ham 
[a;b]
  da integrallanuvchi  va
* 
b 
b 
J  
(fi
 
( x)
 ±  
/2
 (v)V*r =  
J  /  (
x)dx
 ±  
J / 2 (Jf )flbf
a 
a 
a
tenglik o'rinli b o iad i.
Isbot. 
Bu xossa avvalgi  xossa kabi  isbotlanadi.  Bu xossa qo'shiluvchilar soni 
chekli  (ikkitadan  ko'p) bo'lganda ham o'rinli bo'ladi.
b 
a
10.17-xossa.
 
\ f ( x ) d x  = -^ f( x ) d x ,
  y a’ni  integrallash  chegaralari  o'm ini
a 
b
almashtirsak,  aniq integral  ishorasini  qarama-qarshisiga o'zgartadi.
b
Isbot. 
0 
\f(x )d x
  integral 
a
 hoi  uchun aniqlangan edi.  Agar 
a>b
  bo'lsa,  bu
a
xossa  aniq  integral  ta’rifiga  qo'shimcha  sifatida  qaraladi.  Bu  xossani  quyidagicha
b 
a
talqin qilish  mumkin:  J  
f(x )d x
  va  j  
f{x )d x
  integrallari  ishorasi  bilan  farq qiladigan
a 
b
integral yig'indi laming limiti  bo'ladi.  ♦
10.18-xossa.
  (Aniq  in tegrating additivlik  xossasi)  Agar 
f(x)
  funksiya uchun
e
b
b
j
f ( x ) d x ,
j  
f(* )d x ,
 J  
f ( x ) d x
  mavjud  bo'lsa,  u  holda  quyidagi  tenglik  o'rinli
a 
a 
с
bo'ladi:
b
o
b
j  
f(x )d x  =
 J  
f(x )d x
 +  J  
f(x )d x
 
(1)
a 
a 
с
Isbot. 
0 
a
  bo'lsin. 
[a;b]
  ni  shunday 
n
  ta  bo'lakka  bo'lamizki, 
c=xm
 
bo'linish nuqtalaridan bin  bo'lsin.  U holda
*=1 
k=
 1 
k=m+\
va 
('ZkJAXk
  =  j / l
( x) dx> 
) t e k  = ] f ( x ) d x ,
*=1 
a 
Л
  *■=! 
a
268

---

П 
О
л™
  X
%к)&*к
  = 
\  f ( х№х
  bo'lgani  uchun  bu yerdan  (1)  kelib  chiqadi.
k~m
+1 
c
с 
b 
с
Agar 
a <  b  < с
 bo'lsa,  u holda 
j f (  x jdx = j / (  x jdx + \ f (  x)dx
d
a
b
 
b 
с 
с 
С 
b
bo'lib,  bundan 
J f ( x ) d x  = ^ f ( x ) d x - j f ( x ) d x  =
  f
f ( x ) d x + j f ( x ) d x
  bo'ladi.
«
a
b
a
c
Shunday  qilib, 
с
 nuqta  [
a;b]
  ning  ichki yoki  tashqi  nuqtasi  bo'lishidan  qat’iy 
nazar (1) tenglik o'rinli  bo'ladi.  ♦
Endi  aniq  in tegrating tengsizlik bilan  ifodalanadigan xosslarini  o'rganamiz.
10.19-xossa  Agar 
[a;b]
  da 
f(x)
  integrallanuvchi  va 
f(x)>
0  bo'lsa,  u  holda
b
J/(x)£/xr>0 bo'ladi.
a
Isbot. О 
)>0 , 
b=
 1,2,.,.,/j va Ax*= **-**-/ >0 bo'lgani  uchun 
Y^f(%k)&Xk>0
 
bo'ladi. 
Bu
*= I
tengsizlikda limitga o'tsak
b
\f ( x ) d x =
kelib  chiqadi.  ♦
10.20-xossa.  (Aniq  integralning 
monotonlik  xossasi)  Agar 
[a;b]
  da
f(x)
 
va 


 lar integrallanuvchi va 
cp(x)
 
bo'lsa,  u holda
b 
ь
f  
0
 (x)dx  < j  f  (x)dx
60-rasm
bo'ladi.
Isbot. 
0  [
a;b
] 
ning  ixtiyoriy  bo'linishi  uchun 
(p{^k)<  f { ^ k) , 
k=
 1, 
2, 
n.
Demak,  ^ ( ^ J A x *  < £ / ( £ * )
Axk
  bo'ladi.  Bundan
*=i 
*=i
269

---

60-rasmda  yuqoridagi  xossaning  geometrik  talqini  berilgan. 


 
bo‘ lganligi  sababli 
аАгВгЬ
  egri  chiziqli  trapetsiyaning  yuzi 
aA/Bib
  egn  chiziqli 
trapetsiyaning yuzidan katta  emas.
10.21-xossa.
  Agar 
[a;b]
 da
ffx)
 uzluksiz bo‘lib,/fjcj>0 va
ffx)
 aynan nolga teng
ь
boMmasa,  u holda 
^ f{x )d x
> 0 boMadi.
a
Isbot. 
0 
ffx)
  aynan  nolga teng boMmaganligi  sababli 
[a;b\
  kesmada shunday 
E,
  nuqta topilib,  bu nuqta uchuny(£)>0 boMadi. 
ffx)
  ning uzluksizligiga ko‘ ra£   ning 
shunday (a;P ) atrofi mavjudki,  ( a ,p
)a[a;b]
 va bu oraliqmng barcha nuqtalari  uchun
Ь 
a  
p  
b
ham 
ffx)>
0 
o ‘rinli  boMadi.  U  holda 
J 
f ( x ) d x = jf ( x ) d x + [ f ( x ) d x + jf ( x ) d x
  va
a 
a 
a  
p
b 
p
10.19-xossadan  j 
f(x )d x > jf(x )d x
 
kelib  chiqadi. 
ffx)
  uzluksiz  boMgani  uchun
a 
a
[or;/?]  da  u  eng  kichik  qiymatga  erishadi.  Bu  eng  kichik  qiymatni 
m
  bilan 
belgilaymiz.  [<*;/?]  da
ffx)>0
 boMganligi  uchun 
m
> 0 boMadi.  Shuning uchun
j  
f{x )d x > ^ m d x = m ( fi-o c
) 
>
0
,
a  
a
b 
fi
va bundan 
J 
f{x)dx> ^  f(x )d x
> 0 kelib  chiqadi.  ♦
a 
a
10.22-izoh.
  Umumiy  holda  10.19-xossadagi  tengsizlik  qat’ iy  boMa olmaydi. 
Haqiqatdan ham,
f t
  > J ° '  
[ - l;0 ) w ( 0 ;l] ,
11.  * = o
funksiya  10.21-xossadagi  shartlami  qanoatlantiradi.  Shu bilan birga
I 
0 
1
I  
f(x )d x  =
 
|  
f(x )d x
 
+ J /
(x)dx
 
= 0 + 0 = 0,
-1 
-1 
0
270

---

ya’ni  J  
J\x)dx >
 0  (qat’ iy tengsizlik bajarilmaydi).
-i
ь
\f ( x ) d x >
0 boMishi 
uchm f(x)
 funksiya 
[a;b]
 kesmada 10.21-xossa shartlanni
a
qanoatlantirishi yetarli.
10.23-xossa.  Agar 
ffx)
  funksiya 
[a;b]
  kesmada  integrallanuvchi  boMsa,  u 
holda  | / ( * ) |   funksiya ham  shu  kesmada integrallanuvchi  boMadi  va
Ь 
b
\ f ( x ) d x
  < J|/(x)|«fr
a 
a
tengsizlik o'rinli.
Isbot. 
Offx)
  funksiya 
[a;b]
  da integrallanuvchi  boMsin.  U  holda ixtiyoriy 
e
>0 
son  olinganda  ham  shunday 
£>0 
son  topiladiki, 
X<5
  boMgan  har  qanday 
Tn
 
boMinishga nisbatan
S(T„
 ) ~  £ ( г„ ) =  X  
< s
*=i
boMadi.  Ravshanki, 
\ci',b\
 
lar uchun
tengsizlik  o'rinli  boMib,  undan quyidagi
sup |/ C O | - | / ( * 1 |  ^  s u p |/ ( ^ )  - / ( У ) |  
tengsizlik  kelib  chiqadi.  Demak, 
Ok 
  tengsizlik  o ‘ rinli,  bunda 
(0k
  -  | / ( * ) |  
funksiyaning  [дг*-/,**]  dagi  tebranishi.  Natijada
Y daJkAxk < '£ ro kAxk  
boMadi.  Bundan  esa  | / ( * ) |   funksiyaning  [a;6]  kesmada  integrallanuvchiligi  kelib 
chiqadi.
Shuningdek,
I
271

---

tengsizlikda >.—>0 da limitga o'tsak,  izlanayotgan tengsizlik kelib  chiqadi.  ♦
10.24-izoh
,f(x)
  funksiya 
[a;b]
  da integrallanuvchi bo'lsa, u holda  | / ( * ) |   ham 
integrallanuvchi  bo'lishini  ko'rib  o'tdik.  Bunga  teskari  bo'lgan  xulosa,  umuman 
aytganda,  noto'g'ri  bo'ladi.  Masalan,
Г.  1, 
agar 
x
  irratsional 
bo'lsa,
/ ( * ) H
[-1,  agar 
x
  ratsional 
bo  Isa
funksiya uchun
b 
b
 
j\f(x )\d x  = $\dx = b - a ,
a 
a
Demak,  [
a;b}
  da  | / ( * ) |   funksiya integrallanuvchi  bo'ladi,  lekin 
f(x)
 ningo'zi 
Dirixle funksiyasi  kabi  integrallanuvchi  emas.
10.25-xossa.  (Aniq  integralni  baholash)  Agar 
f(x)
  funksiya 
[a;b]
  kesmada
integrallanuvchi  va 
m 
M  bo‘ Isa,  u holda
ь
m(b~a)<  ^f(x)dx
 
(2)
a
tengsizlik  o'rinli  bo'ladi.
Isbot. 
0 
Shartga  ko'ra  ixtiyoriy 
xe [a;b]
 uchun 
m
  Bu tengsizlikka
10.20-xossani,  so'ngra  20.15  va  20.14- 
xossalami  tatbiq  etamiz:
b 
b 
b
 
J  
mdx
 <  
J /
(
x)dx
 <  |  
Mdx,
D
O
 
D
m ^dx<,^ f{x)dx< .M ^dx,
 
61-rasm
a 
a 
a
b
m(b-a)<
  |  
f(x)dx
  ♦
a
61-rasmda 
[a,b\
  da 
J[x)^0
  bo'lgan  hoi  uchun  10.25-xossaning  geometrik 
talqini  berilgan.