T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

ks
 dan  kichik,  qisman yotganliklariniki  2
ks
 dan  kichik  bo'ladi.
Shuning uchun,  agar  A
x  < S
  bo'lsa,
^ (
0
^ < е ( ( Ь - а )  + З к (М -т )),
 
ya’ni 
Я =  max Ax  - > 0  
da
j  
1
П
^
c
)
i
A
xi
  -> 0  va  (1)  shartga ko'ra 
f(x)
  funksiya berilgan  kesmada  integrallanuvchi
j
=i
bo'ladi.  ♦
265

---

10.10-teorema.  Agar 
ffx)
  funksiya  [
a;b
]  kesmada  monoton  boMsa,  u  shu 
kesmada integrallanuvchi  boMadi.
Isbot. 0  Aniqlik  uchun 
f(x)
  o'suvchi  funksiya boMsin.  Ixtiyoriy £>0 son  olib, 
unga ko‘ ra 5>0 sonni  quyidagicha aniqlaymiz: 
S
 = ------ - ------ .
S o‘ngra 
[a.b]
  kesmani  A =  m a x A r^ < £   bo‘ ladigan 
Tn
  bo‘ linishiga  mos 
Darbuning quyi  £ ( r „ )   va 
S ( j
n)  yuqori y ig‘ indilarini tuzamiz.  U holda
S (Tn
) -
S(Tn) = £ mkAxk
 = X ( / ( ^ ) ~ / ( ^ - i ) ) A * *  ^ 
i= l 
*=1
e
~ ~Т7ГЛ
----(/(* *  > ~  /(* * -. )> = 
f(
  , ( / ( x , ) -  / ( x 0 ) +
J
 ( 0 )  -  / ( « )   *=I 
f ( b )  -  f ( a )
■*"••• +  
f ( Xn
 ) ~  
f ( Xn-l
 )) = ------------- ( / ( x   ) — / ( x 0)) =
=  — —------- ( / ( * )  —/( < *) ) = £   boMadi.  Demak,  funksiya  integrallanuvchi
f ( b ) - f ( a )
bo‘ lishining zaruriy va yetarli sharti 
S(Tn
) -
S (тп)< £
bajariladi.  Bu esa qaralayotgan 
funksiyaning integrallanuvchi  ekanligini  bildiradi.  ♦
Chegaralangan  va  kamayuvchi  funksiyaning  integrallanuvchi  ekanligi 
yuqoridagi  kabi  isbotlanadi.
10.11-misol 
>' =  ( x ’ 
funksiyaning 
[1,2] 
kesmada
1(2,  x =  1
integrallanuvchi  ekanligini  asoslang.
Yechish. 
Bu 
funksiyaning 
integrallanuvchi 
ekanligini 
yuqoridagi
teoremalardan foydalanib asoslash  mumkin.
Funksiya  x = l  nuqtada  uzilishga  ega,  qolgan  nuqtalarda  esa  uzluksiz.  10.9-
teoremaga ko‘ ra bu funksiya  [1;2]  da integrallanuvchi boMadi.
Shuningdek,  berilgan  funksiya 
[a;b]
  da  kamayuvchi.  Shuning  uchun  ushbu
funksiya  10.10-teoremaning  hamma  shartlarini  qanoatlantiradi  va  integrallanuvchi
boMadi.
266

---

10.12-izoh.  Integrallanuvchi 
funksiyalar  sinflarining  soni 
faqatgina 
chegaralangan  uzluksiz,  chegaralangan  va chekli  sondagina uzilish  nuqtalariga  ega 
boMgan  hamda  chegaralangan  va  monoton  boMgan  funksiyalar  sinflari  bilan 
cheklanib qolmaydi.  Uzilish nuqtalari  sanoqli to'plamni  (hadlari takrorlanmaydigan 
ketma-ketlikm)  tashkil  etadigan  chegaralangan  funksiyalar  sinfi  ham  kesmada 
integrallanuvchi  bo'lishini  ko‘rsatish  mumkin.
10.13-izoh. Agar 
a=b
 boMsa, ta’rifga ko'ra har qanday funksiya uchun  ushbu