T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

f ( x ) d x
  kabi 
belgilanadi.
11.2-ta’rif.
  A gar 
t
  -» 
+00
  da  F ( t )   =  
j^ f ( x ) d x
  funksiyaning  chekli  limiti 
m avjud boMsa,  / Q
+ 
f ( x ) d x
 xosm as integral yaqinlashuvchi deyiladi, 
f ( x )
 funksiya 
esa cheksiz  [a ;  +
00
) 
oraliqda integrallanuvchi funksiya
 deb  ataladi.
A gar 
t
  -» 
+00
  da F ( t )   =  
fa f ( x ) d x
 funksiyaning  limiti  cheksiz yoki  mavjud 
boMmasa,  u  holda 
f*™ f ( x ) d x  xosmas integral uzoqlashuvchi
 deyiladi.
283

---

Chekli  yoki  cheksiz  limit  xosm as  integralning  qiymati  deyiladi  va 
fa 
f ( x ) d x
  =   ^lirn^ 
f ^ f ( x ) d x
  kabi  yoziladi.
„ ,  
.  .  7  
dx
11.3-misol.  J 
, °t£  R ,   integralni  yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. 
Agar a ^ l   bo‘lsa,  u holda 
' tix 
rcix
 
..
f ~ =   lim  f — =   lim 
—
I 
X
 
x “  
f- и . » !  — a
Demak,
=   lim ------(/l_ur- l ) ,
f 
dx
  |  —-— ,  Var  > 1, 
1 ~  = ,^ 
l ~ a
1  *  
!(oo, 
V ar  < 1.
A g a r a = l  bo'lsa,  u holda
dx
 
.. 
rtfr 
—  =  lim   — =  li
J  
X  
J   X  
l-H o0
1 
1  A
------+ ---
a 
a
f — =   lim  f — =   lim In | 
x\f
  =   lim In/ =  oc .
j 
X  
t - * * ”
 -J 
X
 
'-*+<* 
11 
и<о
-к»  I
Demak,  |  —   integral a > l   da yaqinlashuvchi, a < l   da uzoqlashuvchi  ekan
i
-bao
11.4-misol.
  |  
e'^ dx, a>
0 ni  hisoblang.
0
* р  
/  
—   - c a r
Yechish. 
| 
e~axdx =
  lim  J 
e~acdx =
  lim — — I*  =   lim
» 
i- + + a jJ  
t—
и-со 
/ j 
10 
f -»-fco
0 
0 
4 
✓
oreaf  у  a
-foo
11.5-misoI.
  |  
cos xdx
  ni yaqinlashishga tekshiring.
о
Yechish. 
Bu xosmas  integral  uzoqlashuvchi  bo'ladi,  chunki  ^->+oo  da
t
F (t) =
 j" cos 
xdx
 = sin 
t
0
funksiya  limitga ega emas.
284

---

Funksiyaning  I-00,
b\
  oraliq bo‘yicha xosmas integrali ham yuqoridagi  kabi 
ta’riflanadi.
0 
dx
11.6-misol. 
J  
j — j.  ni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish.  f -——  =  lim  [--- - =  lim 
arctgx
 1° =  lim 
(arctg
0 — 
arctgr) = —
4
,l + x‘ 
r-*~*3r
 1+x2 
i-»— 
lr 
* 
2
о 
,
Demak, integral yaqinlashuvchi va 
J -----7 = —.
Aytaylik,/fx) funksiya 
(-00
 ;+x>) da uzluksiz bo ism. U holda biror  ce (-oo;4oo)
-HW 
с
uchun  J 
J{x)dx
  va 
J"/(x)dr  integrallar  yig‘indisi  bu  funksiyaning  ikkala
С
 
-«>
integrallash  chegaralan  ham  cheksiz  bo‘lgan  xosmas  integrali  deyiladi  va
+co
quyidagicha yoziladi: 
J  
f(x)dx
 
Demak,
+cc 
с 
+oo
J  /(x)dx=  J/(x)c&+ 
j  f(x)dx
-M 
_» 
с
va ta’rif bo‘yicha
+ » 
с 
t
I  
f(x)dx=hm   jf(x )d x  
+ lim 
jf(x )d x
 
(3)
~00
 
Г 
с
deb qabul qilamiz.
-fon
Agar (3)  dagi  ikkala limit ham  mavjud va chekli  boisa, 
J  
/(x)dx  integral
-oo
yaqinlashuvchi, aks holda uzoqlashuvchi deyiladi.
7  
dx
11.9-misoI.  J 
integralni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish.
  (3) formulada 
c
=0 deb olamiz. U holda
dx 
r 
dx
 
J  
dx
 
,. 
f 
dx
 
.. 
r 
dx
0
7  
dx
 
°f 
dx
 
7   dx 
°f  dx 
J-
J  --
2
 
~  ",
-- T+  :--
7
-  
hm  --- 7 +  hm  -
_{,l + x 
Ll+x-
 
f.  1 + x 
1 + x 
1
285

---

=  lim 
arctgxi
 + lim 
arclgxt  =
  lim 
(arcfgO
 - 
arclgr)
 +  lim 
(arctgt - arctgO)
 =
, r  
t~ + + o
о 
Ю 
Г -+ -< Ю
 
/ - * 4oo
1 
1
--КЛ-—71-К.
2 
2
+O0
Geometrik  nuqtai  nazardan  yaqinlashuvchi 
J  
f  (x)dx
  xosmas  integral
y=f(x
)>0  egri  chiziq, 
x=a,
  j/=0  to‘g‘ri  chiziqlar  bilan  chegaralangan  va 
Ox
  o‘qi 
yo‘nalishida cheksiz cho‘zilgan figuraning chekli 
S
 yuzaga ega ekanligini anglatadi
b
 
-fcG
(64-rasm).  Shunga  o‘xshash, 
J 
f{x)dx
  va 
^f(x )dx
  yaqinlashuvchi  xosmas 
integrallarga ham geometrik talqin berish mumkin.
64-rasm
2-§. Xosmas integrating xossalari
Yuqorida kiritilgan xosmas integrallar aniq integrallarga o'xshash xossalarga
ega:
4-со
11.10-xossa. Agar 
J  
/  
(xjdx
 xosmas integral yaqinlashuvchi va /r-o‘zgarmas
a
+co 
-Н» 
+oo
son boisa, 
J 
kj (x)dx
 ham yaqinlashuvchi va 
J 
kf' (x)dx =k
 
J  
/  
(x)dx
 tenglik o‘rinli
a 
a 
a
bo‘ladi.
Isbot (11-1-masala).
286

---

11.11-xossa.  Agar 
fa  f(x )dx
  va  /J" 
cp(x)dx
  yaqinlashuvchi  bo'lsa,  u 
holda 
/a+  (/(x ) ± 
(p(x))dx
 
yaqinlashuvchi 
va 
/a+°°(A *) ± 


 = 
fa  f(x )dx
 ± 
f*°° 

  tenglik o'rinli bo'ladi.
Isbot 
(11-1-masala).
11.12-xossa
  Agar 
fa  f(x )dx
  xosmas  integral  yaqinlashuvchi  bo'lsa,  u 
holda ixtiyoriy 
b > a
 uchun 
fb  f(x )dx
 integrali ham yaqinlashuvchi bo'ladi va a
fa  f(x )dx
  =  
f(x )dx
 + 
fb °° f(x )d x
  o'rinli bo'ladi.
Isbot 
(11-lmasala).
11.13-xossa.
  Agar 
x E
  [a; +
00
)  uchun 
f(x )
  > 0 va bu funksiyaning xosmas 
integrali yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda /Q+°° 
f(x)dx >
  0 bo'ladi.
Isbot 
(11-1-masala).
11.14-xossa.  Aytaylik 
f(x )
  va 


  funksiyalar 
[a;
 +
00
)  da  aniqlangan, 
uzluksiz va 0  < 
f(x
)  <  
cp(x
) shartni qanoatlantirsin. U holda
a) agar Ja+0° 
(p(x)dx
 yaqinlashuvchi bo'lsa, /a+°° 
f(x)dx
 ham yaqinlashuvchi 
bo'ladi;
b) agar 
f*°° f(x )dx
 uzoqlashuvchi bo'lsa, Ja+°° 
cp(x)dx
 ham uzoqlashuvchi 
bo'ladi.
Isbot 
0  Aniq integral xossalariga ko'ra ixtiyoriy 
t > a
 uchun 
f*f(x )d x  < 
f*

 o'rinli.
Agar 
f*°°(p(x)dx
  yaqinlashuvchi  bo'lsa,  u  holda  F (t)  =  
f^f(x )d x  < 
fa cp(x)dx < f*°° 

 < 
+00
  munosabatlar  o'rinli  bo'ladi.  Demak,  F(t) 
funksiya  yuqoridan  chegaralangan.  Shuningdek, 
f(x )  >
 0  bo'lgani  uchun  F(t) 
funksiya о  suvchi  bo'ladi.  Bulardan  ^lim  F(t)  chekli  limitning  mavjudligi,  ya’ni
fa  fM d x
 yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
287

---

Aksincha,  /о+ 
f{x)dx
  uzoqlashuvchi  boMsin. 
f(x )  >
  0  shartdan  F (t)  = 
j^f(x )d x
  funksiyaning 
t -*■
 
+00
  da 
+00
  intilishi  kelib  chiqadi. 
f* f(x )d x <  
fa

  tengsizlikdan 
f^

)  funksiyaning  ham 
t
 -» 
+00
  da 
+00 
intilishi, ya’ni 
f*   (p(x)dx
 uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi.
11.15-misol. 
-j0== 
integralni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. 
11.14-xossadan  foydalanamiz.  Berilgan  integralni 
f ^ ° ° ^
 integral 
bilan  solishtiramiz,  bu  integral 
a >
  1  da  yaqinlashuvchi  (11.3-misol).  [l;+oo)  da
-
7
= = =  — 
~F
f  =  
\
  bo‘lganligi sababli, J +”  ^ in t e g r a t in g  yaqinlashishidan berilgan
+1
 
v* 
x2
J*°°
 
integralning yaqinlashishi kelib chiqadi.
3-§. Absolyut yaqinlashuvchi integrallar
Quyida xosmas integral yaqinlashuvchi boMishining zaruriy va yetarli shartini 
isbotsiz keltiramiz [2, 210-b.].
11.16-teorema  (Koshi  teoremasi).  Quyidagi  Ja+ 
f(x )dx
  xosmas  integral 
yaqinlashuvchi boMishi uchun ixtiyoriy £ > 0 son olinganda ham, shunday 
t0 (t0  >
a) 
soni topilib, 
t' 
>  
t0/1"
  >  t0 boMgan ixtiyoriy t', 
t"
 lar uchun 
/(x)dx|  <  
e
 
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Ushbu  teoremadan  xosmas  integrallaming  yaqinlashuvchiligini  aniqlashda 
foydalanish  qiyin,  ammo  bu  teorema  muhim  nazariy  ahamiyatga  ega  va  undan 
quyidagi teoremani isbot qilishda foydalanamiz.
11.17-teorema.
 
Agar 
f* m\f(x)\dx 
xosmas integral yaqinlashuvchi boMsa, u 
holda 
J*°° fix') dx 
xosmas integral ham yaqinlashuvchi boMadi.
+00
Isbot. 
0  Shartga ko‘ra 
J  
\
 f(x)\dx
  yaqinlashuvchi integral.  11.16-teoremaga
a
asosan, ixtiyoriy e>0 son olinganda ham, shunday 
to (to>a)
 soni topiladiki,
288

---

’> 
t0, t"> t0(t"> t)
 bo'lganda 
^\f(x)\dx 
  tengsizlik bajariladi.  Ammo
t
r 
f
\f(x)dx<\\f{x)\dx.
r 
(
Demak,  ixtiyoriy e>0 son olinganda ham,  shunday 
t0 (to>a)
  soni  topiladiki, 
t ’> ta t ”> t0
 boMganda
г
\f(x)dx
<£
boMadi.  11.16-teoremaga  asosan