Stiltes integrali, xossalari. Stiltes integralini hisoblash. Lebeg ma’nosida oʻlchovli funksiyalar va ularning xossalari. Lebeg integrali va uning xossalari. Riman va Lebeg integrallarini taqqoslash

Stiltes integrali, xossalari. Stiltes integralini hisoblash. Lebeg ma’nosida oʻlchovli funksiyalar va ularning xossalari. Lebeg integrali va uning xossalari. Riman va Lebeg integrallarini taqqoslash
Aytaylik to’ғri chiziqda  o’lchov aniqlangan bo’lsin. Avvalo Lebeg integralini [a,b] segmentdagi o’lchovli Ye to’plamning xarakteristik funksiyasi uchun aniqlaymiz.

Ushbu

f_E(x) =

funksiyani Е to’plamning xarakteristik funksiyasi deyiladi.
Endi f_E(x) funksiyaning Lebeg integrali deb (E) songa (ya’ni, Е to’plamning o’lchoviga) aytamiz va quyidagicha belgilaymiz:
.
Bu yerda, (L) belgi integral Lebeg ma’nosida ekanligini bildirib turadi.
Shuningdek,

funksiya uchun Lebeg integralini



tenglik bilan aniqlash kerakligi tushunarli.
Umumiy hol. (1-usul) Funksiyalarning qiymatlariga ko’ra integral qurish.
Ma’lumki funksiya to’ғri chiziqda, ya’ni sonlar o’qida aniqlangan bo’lsa, uning aniqlanish sohasini bir nechta bo’laklarga bo’lish yordamida Riman integrali quriladi. Ammo funksiya to’ғri chiziqda emas, balki biror o’lchovli, ya’ni o’lchov kiritilgan to’plamda aniqlangan bo’lsa, bu to’plamni oraliqlarga bo’lish degan tushunchaning o’zi ma’noga ega emas. Shuning uchun, funksiyaning qiymatlaridan foydalanib integral qurishni o’rganamiz.
O’lchovli Ye to’plamda aniqlangan va chegaralangan f(x) funksiyaning aniq quyi va aniq yuqori chegaralari mos ravishda, A va V orqali belgilangan bo’lsin. Endi [A,B] segmentni qandaydir usulda n ta qismga bo’lamiz:
A = y_o < y₁ < y₂ < . . . < y_n-1 < y_n = B
Biz Ye_ (=0, 1, 2,  , n-1) orqali u_  f(x) < y_+1
tengsizlikni qanoatlantiradigan x nuqtalardan iborat to’plamni belgilaymiz, ya’ni Ye_ = {x  E : u_  f(x) < y_+1}.
Berilgan f(x) funksiya o’lchovli bo’lganligi uchun Ye_ to’plam o’lchovli bo’ladi.
Endi ushbu
(1)
yiQindilarni tuzamiz (s_n va S_n ni mos ravishda quyi va yuqori yiQindilar deyiladi) va quyidagi ta’rifni kiritamiz:
1-ta’rif. Agar ) nolga intilganda (n) s_n va S_n yiQindilarning limiti mavjud bo’lib, ular bir-biriga teng bo’lsa va bu limit y_ nuqtalarni tanlab olishga boQliq bo’lmasa, u holda bu limit f(x) funksiyaning Ye to’plamdagi Lebeg integrali deyiladi va bu integral yuqoridagi, xususiy hollar kabi ushbu
yoki
ko’rinishida belgilanadi.
Bunday integralning mavjudligi haqida tasdiq va teoremalar ko’p. Shulardan birini keltiramiz.