Bernulli sxemasi va limit teoremalar. Reja

Bernulli sxemasi va limit teoremalar.
Reja:

1. 
   To’la ehtimollik.
   
2. 
   Bayes formulalari.
   
3. 
   Bernulli formulasi, eng ehtimolli son.
   
4. 
   Puasson teoremasi.
   
5. 
   Muavr – Laplasning lokal teoremasi.
   
6. 
   Muavr – Laplasning integral limit teoremasi.
   
7. 
   Integral limit teorema tadbiqlari.
   

Tayanch so’zlar: to’la ehtimollik, Bayes formulasi, Bernulli formulasi. Limit teoremalar: lokal va integral limit teoremalari

To‘la ehtimollik

juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalar to‘la gruppani tashkil etsin, ya’ni va . U holda ekanligini hisobga olib, ni ko‘rinishda yozamiz. ekanligidan ekani kelib chiqadi. hodisaning ehtimolligini hisoblaymiz:

. (4)
Ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra bo‘ladi. Bu tenglikni (4) ga qo‘llasak,
.

• 
  Agar bo‘lsa, u holda
  

(5)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglik to‘la ehtimollik formulasi deyiladi.

1-misol. Detallar partiyasi uch ishchi tomonidan tayyorlanadi. Birinchi ishchi barcha detallarning 25%ini, ikkinchi ishchi 35%ini, uchinchsi esa 40%ini tayyorlaydi. Bu uchchala ishchining tayyorlagan detallarining sifatsiz bo‘lish ehtimolliklari mos ravishda 0.05,0.04 va 0.02 ga teng bo‘lsa, tekshirish uchun partiyadan olingan detalning sifatsiz bo‘lish ehtimolligini toping.
A_i={detal i-ishchi tomonidan tayyorlangan} , B={tekshirish uchun olingan detal sifatsiz} hodisalarni kiritamiz va quyidagi ehtimolliklarni hisoblaymiz:
,

. To‘la ehtimollik formulasiga asosan .
va hodisalar ko‘paytmasi uchun
(6)
(7)
tengliklar o‘rinli. (6) va (7) tengliklardan quyidagilarni hosil qilamiz:
,
. (8)
Bu yerda . (5) tenglik Bayes formulasi deyiladi. Bayes formulasi yana gipotezalar teoremasi deb ham ataladi. Agar hodisalarni gipotezalar deb olsak, u holda ehtimollik gipotezaning aprior(“apriori” lotincha tajribagacha), shartli ehtimollik esa aposterior(“a posteriori” tajribadan keyingi) ehtimolligi deyiladi.
2-misol. 1-misolda sifatsiz detal ikkinchi ishchi tomonidan tayyorlangan bo‘lishi ehtimolligini toping. Bayes formulasiga ko‘ra:

.