Stiltes integrali, xossalari. Stiltes integralini hisoblash. Lebeg ma’nosida oʻlchovli funksiyalar va ularning xossalari. Lebeg integrali va uning xossalari. Riman va Lebeg integrallarini taqqoslash

2-teorema. Agar Ye to’plamda o’lchovli bo’lgan va chegaralangan f(x) funksiya uchun m  f(x)  M tengsizlik bajarilsa, u holda
m(E)   M(E)
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isboti. Bu holda tuzilgan s_n va S_n yiQindilar uchun
m(E)  s_n  S_n  M(E)
tengsizliklar o’rinli. O’osil qilingan tengsizliklarda tegishli limitlarga o’tilsa, yuqoridagi munosabatlar kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
1-Natija. Agar o’lchovli f(x) funksiya Ye to’plamda manfiy bo’lmasa, u holda uning bu to’plam bo’yicha olingan integrali ham manfiy bo’lmaydi, ya’ni agar f(x)  0 bo’lsa, u holda
 0
bo’ladi.
2-Natija. Agar Ye to’plamning o’lchovi nolь (ya’ni, (E) = 0) bo’lsa, u holda har qanday, chegaralangan o’lchovli f(x) funksiya uchun
= 0
bo’ladi.
3-Natija. Ixtiyoriy s o’zgarmas son uchun
= c
tenglik o’rinli.
3-teorema. Agar E, E_i, (i = 1, 2, ) o’lchovli to’plamlar bo’lib, ular uchun
E= E_i (E_iE_j = , i  j)
munosabat o’rinli va f(x) o’lchovli funksiya Ye to’plamda berilgan bo’lsa, u holda
=
tenglik bajariladi.
Integralning bu xossasi uning to’la additivligi deyiladi.
4-teorema. Agar o’lchovli Ye to’plamda, f₁(x) va f₂(x) o’lchovli funksiyalar berilgan bo’lsa, u holda
= +
tenglik o’rinli.
5-teorema. Agar o’lchovli Ye to’plamda berilgan f(x) va g(x) o’lchovli funksiyalar o’zaro ekvivalent bo’lsa, u holda
=
bo’ladi.
6-teorema. Agar o’lchovli Ye to’plamda f(x) va g(x) o’lchovli funksiyalar uchun f(x)  g(x) bo’lsa, u holda

bo’ladi.
7-teorema. Quyidagi tengsizlik o’rinli:
| |  .
8- teorema. Agar f(x)  0 va
=0
bo’lsa, u holda f(x) funksiya Ye to’plamda deyarli nolga teng bo’ladi.