Sonlar ketma-ketligi tushunchasi

Sonlar ketma-ketligi va uning limiti.

1. 
   Sonlarketma-ketligi tushunchasi.
   
2. 
   Ketma-ketliklarning xossalari.
   

Sonlar ketma-ketligi tushunchasi.
Aytaylik, har bir natural songa bitta haqiqiy son mos qo‘yilgan bo‘lsin: . Bu holda natural argumentli funksiya berilgan deyilib, uning qiymatlari
(1)
sonlar ketma-ketligi deyiladi. Bu sonlar ketma-ketligini kabi belgilanadi. ga (1) ketma-ketlikning umumiy yoki hadi deyiladi.
1-Misol. Ushbu
(2)
ketma-ketlikning dastlabki to‘rtta hadi yozilsin.
(2) tenglikda bo‘lsin deb topamiz:

Demak,
Faraz qilaylik, ikkita

ketma-ketliklar berilgan bo‘lsin. Ushbu




ketma-ketliklar mos ravishda va ketma-ketliklarning yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi, hamda nisbati deyiladi va

kabi belgilanadi.
2. Ketma-ketliklarning xossalari
Biror :

ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
Agar uchun bo‘lsa, ketma-ketlik o‘suvchi;
agar uchun bo‘lsa, ketma-ketlik kamayuvchi (qat’iy kamayuvchi) deyiladi.
Agar shunday son topilsaki, uchun tengsizlik bajarilsa, ketma-ketlik yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi.
Agar ketma-ketlik ham quyidan, ham yuqoridan chegaralangan bo‘lsa, u chegaralangan deyiladi.
2-Misol. Ushbu

ketma-ketlikning qat’iy o‘suvchi bo‘lishi isbotlansin.
Berilgan ketma-ketlikning

hadlarini olamiz. Bu hadlari uchun

bo‘ladi. Ravshanki, uchun

Demak,

bo‘lib, undan uchun bo‘lishi kelib chiqadi. Berilgan ketma-ketlik qat’iy o‘suvchi.
3-Misol. Ushbu

ketma-ketlikning chegaralanganligi isbotlansin.
Ma’lumki, uchun .
Demak, ketma-ketlik quyidan chegaralangan.
Ayni paytda Demak, bo‘lib, u ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanganligini bildiradi.
Biror :

ketma-ketlik hamda soni berilgan bo‘lsin.
Agar ixtiyoriy  son olinganda ham shunday natural son topilsaki, barcha uchun

tengsizligi bajarilsa, son ketma-ketlikning limiti deyiladi va

kabi yoziladi.
Agar sonlar ketma-ketligining limiti ga teng,

bo‘lsa, cheksiz kichik miqdor deyiladi.
Chekli limitga ega bo‘lgan ketma-ketliklar yaqinlashuvchi ketma-ketliklar deyiladi.
 ketma-ketlik limitga ega bo‘lishi uchun

bo‘lishi zarur va etarli, bunda  cheksiz kichik miqdor.
Aytaylik,  va  ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo‘lib,

bo‘lsin. Unda

1. 
    , ya’ni .
   
2. 
    ya’ni .
   
3. 
    ya’ni .
   
4. 
   ya’ni
   

bo‘ladi.
Biror ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
Agar har qanday musbat son olinganda ham shunday natural son topilsinki, barcha uchun

tengsizlik bajarilsa,  cheksiz katta miqdor deyiladi. CHeksiz katta miqdorning limiti cheksiz deb olinadi:
 .
Ravshanki, cheksiz katta miqdor bo‘lsa, cheksiz kichik miqdor, shuningdek cheksiz kichik miqdor ( ) bo‘lsa,  cheksiz katta miqdor bo‘ladi.
Ketma-ketlikning limitini topishda limit ta’rifidan, yuqorida keltirilgan qoidalardan shuningdek ba’zi mahsus limitlardan, jumladan ushbu

limitdan foydalaniladi.
4-Misol. Ushbu

ketma-ketlikning limiti 2 ga teng, ya’ni

bo‘lishi isbotlansin.
Ixtiyoriy musbat soni olib, ushbu

ayirmani qaraymiz. Ravshanki, bu ayirmaning absalyut qiymati

bo‘ladi. Agar

deyilsa, unda

bo‘lib, barcha va , ya’ni

tengsizligi bajariladi. Ketma-ketlik ta’rifiga ko‘ra

bo‘ladi.
5-Misol. Ushbu

limit hisoblansin.
Ma’lumki,
.
Unda

bo‘ladi.
6-Misol. Ushbu

hisoblansin.
Bu limit quyidagicha hisoblanadi