Funksiyaning limiti va uning xossalari Reja: Limitlar haqida asosiy teoremalar Birinchi ajoyib limit

-М А Ъ Р У З А
Mavzu: Funksiyaning limiti va uning xossalari
Reja:

• Limitlar haqida asosiy teoremalar
• Birinchi ajoyib limit.
• Ikkinchi ajoyib limit.
• Cheksiz kichik funksiyalarning asosiy xossalari

Limitlar haqidagi asosiy teoremalar
1-teorema. Chekli sondagi funksiyalar algebraik yig’indisining limiti qo’shiluvchi funksiyalar algebraik yig’indisiga teng.
2-teorema. Chekli sondagi funksiyalar algebraik ko’paytmasining limiti funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng.
3-teorema. Ikkita funksiya bo’linmasining limiti maxrajning limiti holdan farqli bo’lsa, bu funksiyalar limitlarning bo’linmasiga teng, ya’ni agar lim v≠0 bo’lsa, bo’ladi.

4-teorema. Аgar a ning biror atrofiga tegishli barcha x lar uchun y=f(x) 0 va (А-chekli son) bo’lsa, u holda A0 bo’ladi.
5-teorema. Аgarning mos qymatlatlari uchun bajarilsa, u holda bo’ldi.
6-teorema. Agar va larning mos qiymatlari uchun

bajarilsa va bunda
bo’lsa, u holda
bo’ladi.

• Birinchi ajoyib limit.

Teorema. Sinx/x x→0 да 1 ga teng limitga ega.
Isbot. R radiusli aylana olamiz, radianlarda Ifodalangan x burchak 0oraliqda yotadi deb faraz qilaylik

Shakildan ko’rinadiki,
Shu sababli tengsizlik ushbu ko’rinishni oladi:
2. Ikkinchi ajoyib limit.
1-teorema. Umumiy hadi bo’lgan ketma-ketlik x → ∞ da 2 va 3 orasidagi limitga ega
2-teorema. x → ∞ da е songa teng limitga ega:
Funksiyaning nuqtadagi limiti
1-ta’rif. Аgar Y=f(x) x=a ning biror atrofida aniqlangan bo’lib ( x=a nuqtaning o’zida аniqlanmagan bo’lishi mumkin) istalgan ε>0 son uchun shunday δ>0 sоn mavjud bo’lsaki, |x-a|< δ ni qanoatlantiradigan barcha x≠ a lar uchun |f(x)-A|< ε bajarilsa, A chekli son Y=f(x) funksiyanung x=a gi (yoki x→a dagi) limiti deb ataladi.
Agar son Y=f(x) ning x=a dagi limiti bo’lsa, bu quydagicha yoziladi:
x → ada f(x) → A
Yuqoridagi ta’rif geometrik nuqtai nazardan quydagini anglatadi:
Agar istalgan ε>0 son uchun shunday δ>0 mavjud bo’lsaki, а dan masofasi δ dan ortiq bo’lmagan (a- δ, a+ δ) dagi barcha хlar uchun f(x) ning qiymatlari (A - ε, A + ε) ga tushsa, А son f(x) ning x a dagi limiti bo’ladi .
ni x = 4 nuqtaning biror atrofida, masalan, (3;5) intervalda qaraylik. Ixtiyoriy ε>0 ni оlamiz va
ni |f(x)- A| deb quydagicha o’zgartiramiz:
xЄ(3;5) ya’ni x>3 ni hisobga olsak, ushbu tengsizlikni hosil qilamiz: