Skalyar maydon 1 Skalyar kattaliklar. Skalyar maydon ta’rifi

9.3 Chiziqli integralning integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi
Amaliyotda chiziqli integralning integrallash yo’liga bog’liqmi yoki u faqat chiziqning boshlang’ich va oxirgi nuqtasigagina bog’liqligini aniqlash muhimdir.
Faraz qilaylik quyidagi vektor maydon berilgan bo’lsin:

Bundan keyin funksiyalar o’zlarining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birga yoki fazoning hammasida, yoki fazoning biror sohasida uzluksiz bo’ladi deb faraz qilamiz.
Faraz qilaylik va nuqtalar sohaning ikkita ixtiyoriy har xil nuqtalari bo’lsin. Bu nuqtalarni tutashtiruvchi turli egri chiziqlarni qarab chiqamiz (9.3.1-chizma).

Agar

chiziqli integral bu yo’llarning barchasi bo’yicha aynan bir xil qiymatlar qabul qilsa, u integrallash yo’liga bog’liq bo’lmaydi deyiladi.
Chiziqli integralning integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligining uch shartini quyidagi teoremalar bilan keltiramiz.
Teorema 9.3.1 (Sirkulyatsiyaning nolga tengligi). chiziqli integral biror sohada integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi uchun bu sohada yotgan istalgan yopiq kontur bo’yicha olingan chiziqli integral nolga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Yetarliligi: Faraz qilaylik, sohada yotuvchi istalgan yopiq kontur uchun

bo’lsin. Bu holda chiziqli integralni integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligini ko’rsatamiz.
sohaga tegishli va nuqtalarni olib ularni shu sohada yotuvchi ikkita turli va egri chiziqlar bilan tutashtiramiz (2-chizma). va yoylar yopiq konturni hosil qiladi.
Shartga ko’ra

Buni egri chiziqli integralning xossalaridan foydalanib, ushbuni hosil qilamiz:


Oxirgi tenglikning o’ng tomonidagi integralni

ekanidan, quyidagini yozamiz:


ya‘ni chiziqli integralning integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi kelib chiqadi.
Zarurligi: Faraz qilaylik fazoda chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasin, ya‘ni

bo’lsin. Shu sohada yotuvchi istalgan yopiq kontur bo‘yicha olingan integral nolga teng bo’lishini ko’rsatamiz:




tenglikka ega bo’lamiz. Oxirgi tenglik istalgan yopiq yopiq kontur bo’yicha olingan chiziqli integral nolga tengligini ko’rsatadi.
Quyida keltiriladigan teorema amalda qo’llanish uchun qulay bo’lgan chiziqli integralning integrallash yo’liga bo’lmaslik shartlarini beradi.
Teoremani ifodalashdan oldin fazoda bir bog’lamli soha tushunchasini kiritamiz.
Ta’rif 9.3.1. Agar sohada yotuvchi ixtiyoriy yopiq konturni sohada yotuvchi sirt bilan tortish imkoniyati bo’lsa, bunday sohalarga bir bog’lamli soha deyiladi.
Bir bog’lamli sohalarga doira, shar, kub, butun fazo kabilar misol bo’la oladi. Bir bog’lamli bo’lmagan sohalarga: halqa, tor (teshik kulcha) lar kiradi.