Skalyar maydon 1 Skalyar kattaliklar. Skalyar maydon ta’rifi

Yetarliligi: o‘rinli bo’ladigan funksiya mavjud bo’lsin. Parametrik tenglamasi

ko‘rinishda bo’lgan yoyni olaylik. Unda,


bo’ladi. Shuning uchun integralning qiymati faqat va nuqtalargagina bog’liq bo’lib uning shakliga bog’liq bo’lmaydi.
Isbotlash jarajonida biz chiziqli integral uchun Nyuton-Leybnits formulasini eslatuvchi formulani ham keltirib chiqardik:

Yuqorida keltirilgan teoremalardan quyidagi qoidani keltirish mumkin.
Agar D soha bir bog’lamli bo’lsa, quyidagi shartlar bir-biriga teng kuchli:

1. 
   chiziqli integral integrallash yoliga bog’liq emas;
   
2. 
   chiziqli integral da joylashgan ixtiyoriy yopiq kontur bo‘yicha integral nolga teng;
   
3. 
   sohaning barcha nuqtalarida bo’ladi;
   
4. 
   ifoda biror funksiyaning to’liq differensiali bo’ladi.
   

1-misol: Ushbu

chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lish-bo’lmasligini tekshiring.
Yechish: Buning uchun vektorning rotorini hisoblaymiz:



Shuning uchun berilgan chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq emas.
2-misol: Ushbu

chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lish-bo’lmasligini tekshiring.
Yechish: shartlar yordamida tekshiramiz:


Demak, berilgan chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq bo’ladi.
3-misol: vektor maydonning kontur bo‘yicha sirkulyatsiyasini toping.
Yechish:


Sirkulyatsiyani Grin formulasida hisoblaymiz.




Oxirgi ikki karrali integralda qutb koordinatalar sistemasiga o’tib, quyidagilarni topamiz: