Skalyar maydon 1 Skalyar kattaliklar. Skalyar maydon ta’rifi

8.3 Rotorning invariant ta’rifi
Maydonning rotorini

ko‘rinishda aniqlash dekart koordinatalar sistemasidagina o‘rinlidir. Stoks formulasi rotorning invariant (koordinatalar sistemasiga bog’liq bo’lmagan) ta’rifini berishga imkon beradi.
Stoks formulasini qanoatlantiruvchi vektor maydon bo’lsin; vektor nuqtadan o‘tuvchi birlik vektor bo’lsin, esa nuqtani o‘z ichiga olgan chegarali yassi shakl bo‘lib, u vektorga perpindikulyar bo‘lsin. Stoks formulasiga ko‘ra (8.3.1- chizma):


ko‘rinishda yozamiz, chunki
O‘rta qiymat haqidagi teoremaga muvofiq:

bundan

bu yerda yuz - sohaning yuzi, - bu sohadagi biror nuqta.
Oxirgi tenglikda sohani nuqtaga tortib (yoki da), limitga o‘tamiz, bunda nuqta nuqtaga intiladi :

munosabatga maydon sirkulyatsiyasining yo’nalishdagi zichligi deyiladi:

Sirkulyatsiya zichligining eng katta qiymati ga teng bo’ladi va bunga va vektorlarning yo‘nalishlari mos kelganda bo’ladi. Shuning uchun vektorning yo‘nalishdagi proeksiyasi koordinatalar sistemasini tanlanishiga bog’liq emas. Natijada rotorning invariant ta’rifiga kelamiz.
Ta’rif. Vektor maydon uyurmasi deb, shunday vektorga aytiladiki, uning biror yo‘nalishga bo‘lgan proeksiyasi shu yo‘nalishga perpindikulyar bo‘lgan yassi yuzning kontur bo‘yicha vektor maydon sirkulyatsiyasining yuzning kattaligiga nisbatiga teng, bunda yuzning o‘lchamlari nolga intiladi ( ), yuzning o‘zi esa nuqtaga tortiladi.
Rotorning fizik manosi
Qattiq jism o‘zgarmas burchak tezlik bilan aylanayotgan bo‘lsin. Qattiq jism nuqtalarining tezliklar maydonini va shu maydonning rotorini topaylik.
Koordinatalar sistemasini shunday tanlaylikki, unda o‘qi jismning aylanish o‘qi bilan mos kelsin (4.11.- rasm). Kinematikadan ma’lumki , nuqtaning tezligi ga teng. Bu yerda nuqtaning radius vektori: , - burchak tezligi vektori: . Tezliklar maydonini topamiz:

Maydonning nuqtadagi rotorini hisoblaylik:

Shunday qilib, qattiq jism tezligining rotori ikkilangan burchak tezligiga teng ekan.
Ixtiyoriy vektor maydonning biror nuqtadagi rotori maydonning shu nuqtadagi aylanma xarakat qilish imkoniyatini harakterlaydi.