Skalyar maydon 1 Skalyar kattaliklar. Skalyar maydon ta’rifi

Teorema 9.3.2 (rotorning nolga tenligi). vektor funksiyaning

chiziqli integrali bir bog’lamli sohada integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi uchun bu sohaning hamma joyida

bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi: Chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasin. Unda ixtiyoriy yopiq kontur bo‘yicha olingan sirkuyatsiya nolga teng bo’ladi. Ya’ni, rotorning istalgan vektordagi ixtiyoriy nuqtadagi proyeksiyasi nolga teng. Shuning uchun maydonning ixtiyoriy nuqtasida

bo’ladi.
Yetarliligi: Faraz qilaylik sohada bo’lsin.
sohada yotuvchi ixtiyoriy yopiq kontur bo’yicha olingan chiziqli integral nolga teng bo’lishini ko’rsatamiz.
sohada yopiq kontur bilan chegaralangan sirtni qaraymiz (soha bir bog’lamli bo’lgani uchun bunday soha doim topiladi). Stoks formulasiga ko’ra

sohada, jumladan, sirtda ekanidan,

demak,

yoki

Bundan sohada istalgan yopiq kontur bo’yicha olingan chiziqli integral nolga teng.

bo’lgani uchun 9.3.2-teoremani quyidagicha ifodalash mumkin:
(9.3.1) chiziqli integral bir bog’lamli sohada integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi uchun shu sohaning har bir nuqtasida

munosabat bajarilishi zarur va yetarlidir.
Teorema 9.3.3 (integral ostidagi ifoda to‘g‘risida).

chiziqli integralning integrallash yo‘liga bo‘g‘liq bo’lmasligi uchun integral ostidagi ifoda biror funksiyaning to’liq differensiali bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Zarurligi: integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasin.

f unksiya izlanayotgan funksiyaligini ko‘rsatamiz ( - fiksirlangan nuqta), ya'ni . Buning uchun xususiy orttirmani topamiz

integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmagani uchun chiziqni ixtiyoriy tanlaymiz: chiziq va to‘g‘ri chiziqni olamiz (9.3.3-chizma)
Integral xossasiga ko‘ra


kesmada faqat o’zgaruvchi, va lar o‘zgarmasligini inobatga olsak, bo’ladi va integralni koordinatalar shaklida quyidagicha yozamiz:


Oxirgi aniq integralga o‘rta qiymat haqidagi teoremani qo’llaymiz:

Bu yerda . U holda

Shunday qilib, . Xuddi shuningdek,
ekanligini ko‘rsatish qiyin emas. U holda,


bo’ladi.