Skalyar maydon 1 Skalyar kattaliklar. Skalyar maydon ta’rifi

Ta'rif 5.3.1. vektor maydonning vektor chizig ‘i (yoki kuch chizig'i) deb, shunday chiziqqa aytiladiki, uning har bir nuqtasiga o‘tkazilgan urinmaning yo‘nalishi shu nuqtaga mos kelgan vektorning yo‘nalishi bilan ustma-ust tushadi.

Aniq maydonlarda vektor chiziqlar ma’lum fizik ma’noga ega bo’ladi. Masalan, biror o‘q atrofida aylanma harakat qilayotgan qattiq jism tezliklar maydonining vektor chiziqlari - markazi aylanish o‘qida joylashgan konsentrik aylanalardan iborat boladi. Statsionar harakatdagi suyuqlik tezliklari maydonining vektor chiziqlari esa suyuqlik zarrachalarining trayektoriyasidan iborat bo’ladi. Agar elektr maydoni bo‘lsa, u holda vektor chiziqlar - bu maydonning kuch chiziqlari bo’ladi.
sirt bo’lagining nuqtalari orqali o’tuvchi hamma vektor chiziqlar to’plami vektor naychalari deyiladi.
5.4 Vektor chiziqlarining differensial tenglamasi
Amalda vektor chiziqlarni aniqlash uchun odatda avval ularning differensial tenglamalari sistemasi deb ataladigan sistema tuziladi va bu sistemani yechib, integral egri chiziqlarning (ya’ni vektor chiziqlarning) grafiklari yasaladi. Vektor chiziqlarning differensial tenglamalari sistemasi quyidagicha tuziladi.
Faraz qilaylik, vektor maydon

Funksiya bilan aniqlangan bo’lsin, bunda lar koordinatalarning funksiyalardir. Agar vektor chiziq ushbu

parametrik tenglamaga ega bo’lsa, u holda bu chiziqqa o’tkazilgan urinmaning yo’naltiruvchi vektori proyeksiyalari hosilalarga yoki differensiallarga proporsional bo’ladi.
vektorning va vektor chiziqqa urinma qilib yo’naltirilgan vektorning kolleniarlik shartini yozib, quyidagini hosil qilamiz:

tenglamalar sistemasi maydonning vektor chiziqlari oilasining differensial tenglamalari sistemasi deyiladi.
Yassi vektor maydonlar uchun vektor chiziqlaming differensial tenglamasi

ko‘rinishda bo’ladi.
Shunday qilib, maydonning vektor chiziqlarini topish haqidagi masala sistemadagi integral egri chiziqlarni topishga teng kuchli.
1-misol: vektor maydonning vektor chiziqlari topilsin.
Yechish: Ravshanki, . Demak, izlanayotgan vektor chiziqiarning differensial tenglamalari sistemasi quyidagicha bo’ladi:

Bu sistema quyidagi sistemaga teng kuchli

Ravshanki,

Shunga o‘xshash,

Bu yerdan

Bunda -ixtiyoriy o’zgarmas sonlar. Shunday qilib, vektor maydonning vektor chiziqlari koordinatalar boshida o‘tgan, yo'naltiruvchi vektori bo’lgan ikki parametrli fazoviy to‘g‘ri chiziqlar oilasidan iborat.