Simmetrik almashtirishlar va Simmetrik matritsalar

Simmetrik almashtirishlar va Simmetrik matritsalar.

Agar n o’lchovli evklid fazosining istalgan a, b vektorlar uchun

(φa, b)=(a, φb) (1)
Tenglik o’rinli bo’lsa, ya’ni almashtirish belgisini skalyar ko’paytirishda bitta ko’paytuvchidan ikkinchisiga o’tkazish mumkin bo’lsa, bu fazoni φ chiziqli almashtirish semmetrik(yoki o’z-o’ziga qo’shma) deyiladi.
Ayniy almashtirish ε va nol almashtirish shubxasiz, semmetrik almashtirishlarga misol bo’la oladi. Umumiyroq misol sifatida ixtiyoriy vektorni tayinlangan α songa ko’paytirishdan iborat bo’lgan
a•φ = α•a
chiziqli almashtirishni qarash mumkin. Xaqiqatdan xam, bu xol uchun

(aφ, b)=( αa, b)= α(a, b)=(a, αb)=(a, bφ).

Simmetrik almashtirishning axamiyati juda kata bo’lgani uchun biz ularni iloji boricha mufassil o’rganishimiz lozim.

Evklid fazosini simmetrik almashtirish istalgan ortonormallangan bazida simmetrik matritsa orqali beriladi. Aksincha agar evklid fazosini chiziqli almashtirish birorta ortonormallangan bazada simmetrik matritsa orqali beralidigan bo’lsa bunday almashtirish simmetrik bo’ladi.
Darxaqiqat, φ simmertik almashtirish _{ }, _{ } ortonormallangan bazada A= (_{ }) matritsa orqali berilgan bo’lsin. Ortonormallangan bazada ikkita vektorning skalyar ko’paytmasi bu vektorlar mos kordinatalari ko’paytmalarining yig’indisiga tengligini xisobga olib,

(_{ }

(_{ }

Tengliklari orqali xosil qilamiz. Ya’ni (1) ifodaga asosan hamma i va j lar uchun

_{ }
Tenlik o’rinlidir. Shunday qilib, A maritsa simmetrik matritsa ekan,
Masalan:


Matritsalar simmetrik matritsalarga misol bo’la oladi.

Aksincha, φ simmertik almashtirish _{ }, _{ } ortonormallangan bazada A= (_{ }) simmetrik matritsa orqali berilgan bo’lsin, yani xamma i va j lar uchun

_{ } (2)
bo’lsin, Agar
b=_{ }
faxoning ixtiyoriy vektorlari bo’lsa u xolda



bo’ladi, e bazaning ortonormallanganligidan foydalanib, ushbu



Tenliklarni xosil qilamiz, (2) ga asosan oxirgi tengliklarning o’ng tomonlari o’zaro teng va demak,
_{ }=_{ },