1. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi

1. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi. Haqiqiy chiziqli fazo R deyiladi haqiqiy Evklid fazosi(yoki oddiygina evklid fazosi) agar quyidagi ikkita talab bajarilsa.
I. Bu fazoning istalgan ikkita elementiga x va y nomli haqiqiy son beriladigan qoida mavjud skalyar mahsulot bu elementlardan va (x, y) belgisi bilan belgilanadi.
P. Ushbu qoida quyidagi to'rtta aksiomaga bo'ysunadi:
1 °. (x, y) = (y, x) (siljish xossasi yoki simmetriya);
2 °. (x 1 + x 2, y) \u003d (x 1, y) + (x 2, y) (tarqatuvchi xususiyat);
3°. (l x, y) = l (x, y) har qanday haqiqiy l uchun;
4 °. (x, x) > 0, agar x nolga teng bo'lmagan element bo'lsa; (x, x) = 0, agar x nol element bo'lsa.
Biz shuni ta'kidlaymizki, Evklid fazosi tushunchasini kiritishda biz nafaqat o'rganilayotgan ob'ektlarning tabiatidan, balki elementlar yig'indisini shakllantirish qoidalarining o'ziga xos turidan ham, elementning songa ko'paytmasini, va elementlarning skalyar ko‘paytmasi (bu qoidalar chiziqli fazoning sakkizta aksiomasini va to‘rtta aksiomaning skalyar ko‘paytmasini qondirishi muhim).
Agar o'rganilayotgan ob'ektlarning tabiati va sanab o'tilgan qoidalarning shakli ko'rsatilgan bo'lsa, Evklid fazosi deyiladi. xos.
Keling, aniq Evklid bo'shliqlariga misollar keltiraylik.
Misol 1. Barcha erkin vektorlarning B 3 chiziqli fazosini ko'rib chiqaylik. Biz har qanday ikkita vektorning skalyar ko‘paytmasini analitik geometriyadagi kabi aniqlaymiz (ya’ni, bu vektorlar uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinuslarining ko‘paytmasi sifatida). Analitik geometriya kursida 1°-4° aksiomalarning aniqlangan skalyar ko'paytmasining to'g'riligi isbotlandi («Analitik geometriya», 2-bob, §2, 3-betga qarang). Demak, B 3 fazosi skalyar ko'paytmasi shunday aniqlangan Evklid fazosidir.
2-misol. a ≤ t ≤ b segmentida aniqlangan va uzluksiz barcha x(t) funksiyalarning cheksiz o‘lchamli S [a, b] chiziqli fazosini ko‘rib chiqaylik. Ikkita shunday x(t) va y(t) funksiyalarning skalyar ko‘paytmasi bu funksiyalar ko‘paytmasining integrali (a dan b gacha) sifatida aniqlanadi.
1°-4° aksiomalarning aniqlangan skalyar ko'paytmasining haqiqiyligini tekshirish elementar hisoblanadi. Haqiqatan ham, aksioma 1 ° ning haqiqiyligi aniq; 2° va 3° aksiomalarning haqiqiyligi aniq integralning chiziqli xossalaridan kelib chiqadi; 4° aksiomaning haqiqiyligi shundan kelib chiqadiki, uzluksiz manfiy bo‘lmagan x 2 (t) funksiyaning integrali manfiy emas va bu funksiya a ≤ t ≤ b segmentida xuddi shunday nolga teng bo‘lgandagina yo‘qoladi (qarang. “Matematik analiz asoslari” masalasi, I qism, 1-banddan 1° va 2° xossalari §6-bob 10) (ya’ni ko‘rib chiqilayotgan fazoning nol elementi).
Shunday qilib, C [a, b] fazosi shunday aniqlangan skalyar mahsulotga ega cheksiz o'lchovli evklid fazosi.
3-misol. Evklid fazosining quyidagi misolida n ta haqiqiy sondan iborat n ta tartiblangan to‘plamdan, har qanday ikkita elementning skalyar ko‘paytmasi x= (x 1 , x 2 ,...,xn) va y ning n o‘lchovli chiziqli fazosi A berilgan. = (y 1 , y 2 ,...,yn) tengligi bilan aniqlanadi
(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n. (4.2)
1° aksiomaning aniqlangan skalyar mahsulotining haqiqiyligi aniq; 2° va 3° aksiomalarning toʻgʻriligi osongina tekshiriladi, elementlarni qoʻshish va ularni raqamlarga koʻpaytirish amallarining taʼrifini eslash kifoya:
(x 1 , x 2 ,...,x n) + (y 1 , y 2 ,...,yn) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,...,xn + yn) ,
l (x 1, x 2,...,x n) = (l x 1, l x 2,..., l x n);
nihoyat, 4° aksiomaning haqiqiyligi shundan kelib chiqadiki, (x, x) = x 1 2 + x 2 2 + ... + x n 2 doimo manfiy bo'lmagan raqam va faqat x 1 = x 2 = ... = x n = 0 shartida yo'qoladi.
Ushbu misolda ko'rib chiqilgan Evklid fazosi ko'pincha E n belgisi bilan belgilanadi.
4-misol. Xuddi shu chiziqli fazoda A n istalgan ikkita elementning x= (x 1 , x 2 ,...,xn) va y = (y 1 , y 2 ,...,yn) skalyar koʻpaytmasini kiritamiz. ) munosabat (4.2) emas, balki boshqa, umumiy tarzda.
Buning uchun n tartibli kvadrat matritsani ko'rib chiqing

(4.3) matritsadan foydalanib, n ta x 1 , x 2 ,..., x n oʻzgaruvchilarga nisbatan ikkinchi tartibli bir jinsli koʻphadni tuzamiz.
Oldinga qarab, biz bunday ko'phad chaqirilishini ta'kidlaymiz kvadratik shakl((4.3) matritsa orqali hosil qilingan) (kvadrat shakllar ushbu kitobning 7-bobida tizimli ravishda o‘rganilgan).
Kvadrat shakl (4.4) deyiladi ijobiy aniqlangan, agar u bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan x 1, x 2,..., xn o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun qat'iy ijobiy qiymatlarni qabul qilsa (ushbu kitobning 7-bobida zarur va etarli kvadratik shaklning musbat aniqlik sharti ko'rsatiladi).
x 1 = x 2 = ... = x n = 0 uchun kvadratik shakl (4.4) aniq nolga teng bo'lgani uchun, shuni aytishimiz mumkinki, ijobiy aniqlik
kvadratik shakl faqat x sharti bilan yo'qoladi 1 = x 2 = ... = x n = 0.
Biz (4.3) matritsaning ikkita shartni qondirishini talab qilamiz.
1 °. Ijobiy aniq kvadrat shakl hosil qilindi (4.4).
2 °. Bu nosimmetrik edi (asosiy diagonalga nisbatan), ya'ni. a ik = a ki shartni hamma i = 1, 2,..., n va k = I, 2,..., n uchun qanoatlantiradi.
1° va 2° shartlarni qanoatlantiruvchi (4.3) matritsadan foydalanib, har qanday ikkita elementning x= (x 1 , x 2 ,...,x n) va y = (y 1 , y 2 ,...) skalyar koʻpaytmasini aniqlaymiz. ,yn) A n fazoning munosabati bilan
1°-4° gacha bo'lgan barcha aksiomalarning aniqlangan skalyar mahsuloti uchun haqiqiyligini tekshirish oson. Haqiqatan ham, 2° va 3° aksiomalar mutlaqo ixtiyoriy matritsa uchun (4.3) haqiqiydir; 1° aksiomaning haqiqiyligi (4.3) matritsaning simmetrik bo‘lishi shartidan, 4° aksiomaning haqiqiyligi esa skalyar ko‘paytma (x, x) bo‘lgan kvadratik shakl (4.4) dan kelib chiqadi. ijobiy aniqlik.
Shunday qilib, (4.5) matritsa simmetrik va u hosil qilgan kvadratik shakl musbat aniqlangan boʻlishi sharti bilan (4.5) tenglik bilan aniqlangan skalyar koʻpaytmali A n fazo Evklid fazosidir.
Agar (4.3) matritsa sifatida bir xillik matritsasini olsak, u holda (4.4) munosabat (4.2) ga aylanadi va 3-misolda ko'rib chiqilgan Evklid fazosi E n ni olamiz.