|
4.2 teorema. Har qanday Evklid fazosi, agar undagi istalgan x elementning normasi tenglik bilan aniqlansa, norma hisoblanadi
Isbot.(4.9) munosabat bilan aniqlangan me'yor uchun normalangan fazoning ta'rifidan 1°-3° aksiomalar mavjudligini isbotlash kifoya.
1° aksioma normasining haqiqiyligi skaler mahsulotning 4° aksiomasidan darhol kelib chiqadi. 2 ° aksioma normasining haqiqiyligi deyarli to'g'ridan-to'g'ri ichki mahsulotning 1 ° va 3 ° aksiomalaridan kelib chiqadi.
Axiom 3 ° ning norma uchun to'g'riligini tekshirish uchun qoladi, ya'ni tengsizlik (4.8). Biz Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga (4.6) tayanamiz, uni biz shaklda qayta yozamiz.
Oxirgi tengsizlik, skalyar ko'paytmaning 1°-4° aksiomalari va normaning ta'rifi yordamida biz hosil bo'lamiz.
Teorema isbotlangan.
Natija.(4.9) munosabat bilan aniqlangan elementlar normasiga ega har qanday Evklid fazosida har qanday ikkita x va y element uchun (4.8) uchburchak tengsizligi o'rinli bo'ladi.
Yana shuni ta'kidlaymizki, har qanday haqiqiy Evklid fazosida bu fazoning ikkita ixtiyoriy x va y elementlari orasidagi burchak tushunchasini kiritish mumkin. Vektor algebrasiga to'liq o'xshab, biz qo'ng'iroq qilamiz burchak elementlar orasidagi ph X va da bu (0 dan p gacha o'zgaruvchan) burchak, uning kosinusu munosabat bilan aniqlanadi
Biz tomonimizdan berilgan burchak ta'rifi to'g'ri, chunki Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi (4,7") tufayli oxirgi tenglikning o'ng tomonidagi kasr mutlaq qiymatdagi birlikdan oshmaydi.
Bundan tashqari, agar bu elementlarning (x, y) skalyar ko'paytmasi nolga teng bo'lsa, Evklid fazosining ikkita ixtiyoriy x va y elementlarini ortogonal deb atashga rozi bo'lamiz (bu holda burchak kosinasi (x elementlar orasidagi ph). va y nolga teng bo'ladi).
Yana vektor algebrasiga murojaat qilib, ikkita ortogonal elementlarning x + y yig'indisini x va y gipotenuza deb ataymiz. to'g'ri uchburchak x va y elementlari asosida qurilgan.
E'tibor bering, har qanday Evklid fazosida Pifagor teoremasi o'rinli: gipotenuzaning kvadrati summasiga teng oyoq kvadratlari. Darhaqiqat, x va y ortogonal va (x, y) = 0 bo'lgani uchun, aksiomalar va normaning ta'rifi tufayli.
||x + y || 2 = ( x+y, x+y ) = (x, x ) + 2(x, y ) + (y, y) = (x, x) + (y, y) =||x|| 2 + ||y || 2.
Bu natijani n ta juft ortogonal elementlarga ham umumlashtirish mumkin x 1 , x 2 ,..., x n: agar z = x 1 + x 2 + ...+ x n bo'lsa, u holda
||x|| 2 \u003d (x 1 + x 2 + ... + x n, x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d (x 1, x 1) + (x 2, x 2) + .... + (x n ,x n ) = ||x 1 || 2 + ||x 1 || 2 +... +||x 1 || 2.
Xulosa qilib aytganda, oldingi bandda ko'rib chiqilgan har bir o'ziga xos Evklid bo'shliqlarida normani, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini va uchburchak tengsizligini yozamiz.
Skayar mahsulotning odatiy ta'rifi bilan barcha erkin vektorlarning Evklid fazosida a vektor normasi uning uzunligi |a| bilan mos keladi, Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi ((a,b ) 2 ≤ | a| 2 |b | 2 va uchburchak tengsizligi - |a + b| ≤ |a| + |b | koʻrinishga (Agar a va b vektorlarini uchburchak qoidasiga koʻra qoʻshsak, u holda bu tengsizlik trivial tarzda kamayadi. uchburchakning bir tomoni uning qolgan ikki tomonining yig'indisidan oshmasligi).
Evklid fazosida S [a, b] barcha funksiyalarning x = x(t) uzluksiz a ≤ t ≤ b segmentida skalyar ko‘paytma (4.1), element normasi x = x(t) ga teng, Koshi-Bunyakovskiy va uchburchak tengsizliklari shaklga ega
Bu tengsizliklarning ikkalasi ham matematik tahlilning turli sohalarida muhim rol o'ynaydi.
Evklid fazosida E n skalyar ko'paytmali (4.2) n ta haqiqiy sonning tartiblangan to'plamlari, har qanday elementning normasi x = (x 1 , x 2 ,...,x n) ga teng.
Nihoyat, skalyar ko‘paytmali (4.5) n ta haqiqiy sonning tartiblangan to‘plamlarining Evklid fazosida x = (x 1 , x 2 ,...,xn) har qanday element normasi 0 ga teng (esda tutingki, bunda holatda (4.3) matritsa simmetrik bo'lib, musbat aniq kvadrat shaklni (4.4) hosil qiladi).
Koshi-Bunyakovskiy va uchburchak tengsizliklari shaklga ega
Do'stlaringiz bilan baham: |
