Simmetrik almashtirishlar va Simmetrik matritsalar

Teorema isbot bo’ldi.

Teorema: chekli o’lchamli unitar L fazoda chiziqli f almashtirishning o’z-o’ziga qo’shma bo’lishi uchun uning normal va barcha xos sonlari xaqiqiy bo’lishi zarur va yetarli:

Isbot: Chiziqli f almashtirish o’z-o’ziga qo’shma bo’lsin. U holda f ^*f=ff ^*=f ², ya’ni normal. Normalligini sababi L da uning xos vektorlaridan iborat ortonormal bazis bor, Bu bazisda f va f ^* operatorlarning matritsalari

A= _{ }

A^*=_{ }
Ko’rinishga ega. Ushbu f=f^* munosabatda A=A^* yani λ_k=_{ } (k=1,n) tenglik kelib chiqadi. demak λ_k larning xaqiqiy.
Aksincha: f ning normalligi va barcha λ_k larning xaqiqiyligidan A=A^* va demak f=f^* kelib chiqadi.

Teorema: Unitar L fazoda xar qanday chiziqli f almashtirish g+ih ko’rinishida ifodalanishi mumkin, bu yerda g, h o’z-o’ziga qo’shma operator.

Isbot: Ushbu g=1/2(f=f ^* ) , h=1/(2i)( f=f ^*) belgilashlar kiritib, f=g+ih, g^* =g. h^*=h munosabatlarni olamiz.
Chiziqli f operatorning o’z-o’ziga qo’shmaligi bichiziqli φ(x, y)=(f(x), y) formaning ermitligiga teng kuchli: agar f=f^* bo’lsa, U holda φ(y, x)=(f(y), x)=(y, f(x))=_{  }, aksincha _{ }=φ(y, x) dan (f(x), y)=_{  }=(x, f(y)) ya’ni f=f^* kelib chiqadi.

Agar chiziqli f operator uchun e_1, e₂, …, e_n – uning xos vektorlaridan iborat bazis bo’lsa, u xolda

Φ(e_i, e_j)=(f(e₁), e_k)=( λ_ie_i, e_k)= λ_iβ_ik=_{ }
Shunday qilib, bu bazis φ(x, y) uchun kanonik. Ikkinchi tomondan chekli o’lchamli unitary L fazodagi xar qanday bichiziqli φ(x, y) forma (f(x), y) ko’rinishida ifodalanishi mumkin. Bu yerda chiziqli f operatorning matritsasi φ(x, y) formaning matritsasiga tronsportirlangan.

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati:

1. 
   A. G. Kurosh “Oliy algebraa kursi” Toshkent 1967.
   

2. 
   J. Xojiev, A. S. Fayliyev. Algebra va sonlar nazaryasi kursi.Toshkent-2001
   

3. 
   G. G’aymnazarov, O Gainnazarov. Algebra va sonlar nazaryasidan misol va masalalar yechish. Toshkent-2015