Simmetrik almashtirishlar va Simmetrik matritsalar

Misol: Matritsasi

M=_{ }

Bo’lgan A simmetrik operatorning xos sonlarini toping?
Yechish: Dastlab M matritsaning xarakteristik tenglamasini tuzamiz.


bundan
Λ³-_{   }(_{ }²-1)=0
Demak, _{ 1}=0, _{ 2}=1, _{ 3}= -1, ya’ni simmetrik almashtirishning xos sonlari xaqiqiy sonlardan iborat.

Teorema: Evklid fazosini _{ } chiziqli almashtirish simmetrik bo’lishi uchun _{ } fazoda bu almashtirish xos vektorlaridan tuzilgan ortonormallangan baza mavjud bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot: Bu teoremaning birinchi qismi deyarli ravshan: Agar _{ } da _{ }ortonormallangan baza mavjud bo’lib, shu bilan birga
_{ } i=1, 2, 3, . . . , n.

bo’lsa bu xolda e bazada _{ } almashtirish ushbu

_{ }
Dioganal matritsa orqali beriladi. Biroq diagonal matritsa simmetrik bo’lgani uchun _{ } almashtirish e ortonormallangan bazada simmetrik matritsa orqali berildi, ya’ni simmetrik bo’ladi.
Biz teoremaning asosiy teskari qismini _{ } fazoning o’lchami n bo’yicha induksiya yordami bilan isbotlaymiz. Xaqiqatdan xam n=1 bo’lsa, _{ } fazoni har qanday chiziqli almashtirish istalgan vektorni albatta o’ziga proporsianal bo’lgan vektorga o’tkazadi.
Bundan nolga teng bo’lmaganhar qanday a vektor _{ } uchun xos vector bo’lishi kelib chiqadi. Shu bilan birga _{ } fazoni xar qanday chiziqli almashtirish xam chiziqli ekanligi kelib chiqadi. a vektorni normallab _{ } fazoning izlanayotgan ortonormallanmagan bazani xosil qilamiz.
Endi teoremani n-1 o’lchovli evklid fazosi uchun isbotlangan va _{ }fazoda _{ } simmetrik almashtirish berilgan bo’lsin. Yuqorida isbotlangan teoremadan _{ } uchun xaqiqiy xarakteristik ildiz _{ }ning mavjudligi kelib chiqadi. demak bu son _{ } chiziqli almashtirishning xos qiymati bo’ladi.
Agar a vector _{ }almashtirishning bu xos qiymatiga mos keluvchi xos vektori bo’lsa, u xolda a vektorga proporsianal xar qanday nolga teng bo’lmagan vector xam _{ }almashtirishning xuddi shu _{ } xos qiymatiga mos keluvchi xos vektori bo’ladi, chunki
(αa)φ= α(aφ)=α(a_{ }=_{ }(αa).
Xususan, a vektorni normallab, shunday _{ } vektorni xosil qilamizki,

_{ }=1
bo’ldi,
Nolga teng bo’lmagan _{ }vektorni _{ } fazoning ortoganal
_{ }, . . ., _{ }. (5)
Bazisiga kiritish mumkin, (5) bazada birinchi kordinatalari nolga teng bo’lgan vektorlar ya’ni _{ }+_{ }+ …. +_{ } ko’rinishdagi vektorlar, shubxasiz, _{ }fazoning n-1 o’lchovli chiziqli qism fazosini tashkil etadi. Bu qism fazoni L bilan belgilaymiz.
L xatto n-1 o’lchovli evklid fazosi bo’ladi, chunki _{ }fazoning xamma vektorlari uchun aniqlanga skalyar ko’paytma xusuusan L dagi vektorlar uchun xam aniqlangan bo’lib, shu bilan birga bu skalyar ko’paytma barcha kerakli barcha xossalarga ega bo’ladi.
L qism fazo _{ }fazoning _{ }vektorga ortoganal bolgan barcha vektorlaridan tashkil topgan. Xaqiqattan xam, agar
A=_{ }+_{ }+ …. +_{ }
bo’lsa, (5) bazaning ortoganalligidan va _{ } vektorlarning normallanganligidan
(_{ } a)=_{ }+_{ }+ …. +_{ })=_{ }
Munosabat kelib chiqadi, ya’ni (_{ } a)=0 tenglik _{ } bo’lganda va faqat shundagina o’rinli bo’ladi.
Agar a vector L qism fazoga tegishli bo’lsa, ya’ni (_{ } a)=0 bo’lsa, aφ vector ham L ga tegishli bo’ladi, xaqiqatdan xam, φ almashtirishning simmetrikligiga asosan,
(_{ } aφ)= (_{ } a)= (_{ } a)=_{ } a)=_{ },
Ya’ni aφ vector _{ } ga ortoganal va shuning uchun xam L ga tegishli. L qism fazoning φ almashtirishga nisbatan invariantligi deb ataluvchi bu xossasi φ ni faqat L ning vektorlarigagina qo’llayapti deb qarasa (n-1) o’lchovli evklid fazosini chiziqli almashtirish deb xisoblashga imkon beradi.
U xatto L fazoni simmetrik almashtirish xam bo’ladi,chunki _{ } ning xar qanday vektorlari uchun bajarilgan (1) tenglik, xususan, L da yotuvchi vektorlar uchun xam o’rinlidir.

Induktiv farazga asosan L fazoda φ almashtirishning xos vektorlaridan tuzilgan ortonormallangan baza mavjud; uni_{ } orqali belgilaylik, Bu vektorlarning xammasi _{ } vektorga ortoganal va demak, _{ } fazoning biz izlayotgan ortonormallangan bazasi_{ } shu almashtirishning xos vektorlaridan tuzilgan bo’ladi.