Simmetrik almashtirishlar va Simmetrik matritsalar

Xuddi shuni isbotlash talab etilgan edi.

Xosil bo’lgan natijadan simmetrik almashtirishlarning bevosita xamda osongina tekshiriladigan quyidagi xossasi kelib chiqadi.

Simmetrik almashtirishlarning yig’indisi va shuningdek, simmetrik almashtirishning songa ko’paytmasi ham yana simmertik almashtirishlardan iborat bo’ladi.

Simmetrik almashtirishlar quyidagi xossalarga ega:

1. 
   I^*=I
   
2. 
   (A+B)^*=A^*+B^*
   
3. 
   (λA)^*= λA^*
   
4. 
   (A^*)^*=A
   
5. 
   (AB)^*=B^*A^*
   

Endi ushbu muxum teoremani isbotlaylik:

Simmetrik almashtirishning barcha xarakteristik ildizlari xaqiqiydir.

Ixtiyoriy chiziqli almashtirishning xarakteristik ildizlari bu almashtirishning istalgan bazadagi matritsasining xaraktiristik ildizlariga teng bo’lgani uchun simmetrik almashtrish esa ortonormallangan bazada simmetrik matritsa orqali berilgani uchun quyidagi teoremani isbotlash kifoya.

Simmetrik almashtirishning xarakteristik ildizi xaqidagi teorema.

Teorema: Simmetrik matritsaning barcha xaraktiristik ildizlari xaqiqiydir.

Isbot: Xaqiqatdan xam, _{ } berilgan A= (_{ }) simmetrik matritsaning xaraktiristik ildizi(kompleks son bo’lishi xam mumkin) bo’lsin.
|A - _{ } E|=0,
U xolda kompleks koefsentli bir jinsli tenglamalar sistemasi

_{ } i=1, 2, 3, …, n.
nolga teng bo’lgan determinantga ega, yani nolga teng bo’lmagan _{ 
 }(umuman olganda kompleks) echimga ega; shunday qilib,
_{ } i=1, 2, 3, …, n. (3)
(3) tengliklarda xar qaysi i-tenglikning ikkala tomonini _{ } ga ko’paytirib, xosil bo’lgan hamma tengliklarning chap va o’ng qismlarini aloxida yig’sak,


tenglikka kelaqmiz,
(4) dagi _{ } ning koeffitsienti kamida bittasi qatiy musbat bo’lgan bir nechta manfiy bo’lmagan xaqiqiy sonlarning yig’indisidan iborat bo’lgani uchun noldan farqli xaqiqiy sondir.
Shu sababli, agar biz (4) tenglikning chap tomonidagi ifodaning xaqiqaiy ekanligini ko’rsatsak, _{ } sonniong xaqiqiy ekanligini ko’rsatgan bo’lamiz, Buning uchun tekshiraliyotgan kompleks son o’zining qo’shmasiga teng ekanligini ko’rsatishimiz kifoya. Bu yerda A (xaqiqiy) matritsaning simmetrik ekanligidan birinchi marta foydalaniladi.

Shuni aytish kerakki oxirgidan oldingi tenglik yig’indining indeksi uchun belgilashlarni soda o’zgartirish orqali xosil qilingan: i o’rniga j, j o’rniga i qo’yilgan. Binobarin teorema isbot bo’ldi.