«Симметрические уравнения, системы. Их методы решения.»

Примеры решений задач повышенной сложности

Пример 7. Решить систему уравнений .
Сделаем замену . Тогда исходная система запишется в виде: . Запишем отдельно первое уравнение системы и найдем все возможные его корни: . Теперь найдем соответствующие значения : .
Решим первую систему уравнений:
Найдем решения второй системы уравнения: .
Ответ:
Пример 8. Решить систему уравнений .
Сделаем замену . Тогда первое уравнение системы запишется в виде . Аналогичную операцию проведем со вторым уравнением: . В соответствии с преобразованиями первоначальная система примет вид: . Решение подобного вида системы было рассмотрено в пример 4.
Ответ:
Пример 9. Решить систему уравнений .
Легко заметить, что решение нам не подходит (т.е. . Тогда, если мы разделим первое уравнение системы на второе, мы не «потеряем» корни. Сперва преобразуем исходную систему к виду . Разделив первое уравнение на второе, получим равносильную систему уравнений: . Раскроем скобки в первом уравнении системы: . Сделав замену , получим систему: . В итоге после обратной замены получаем две системы: 1) , 2) . Так как и сумма двух чисел, и произведение неотрицательные, значит оба числа не меньше нуля, следовательно, по неравенству Коши должно выполняться . Тогда система 1) не имеет решений. Система 2) имеет два решения.
Ответ:
Пример 10. Составить квадратное уравнение , корнями которого являются числа , где - корни уравнения .
Для уравнения по теореме Виета имеем: . Обозначим . Аналогично для искомого уравнения: . Приведем подобные в первом и втором уравнениях системы: 1) ; 2) . В итоге получили систему: . Искомое квадратное уравнение имеет вид .
Ответ:
Пример 11. Решить уравнение
Это уравнение также является возвратным. Единственное отличие – это нечетная степень 11. Разделим данное уравнение на . Тогда имеем: . Таким образом, мы пришли к возвратному уравнению четной степени. Именно деление на позволило нам оставить четную степень. Решение возвратного уравнения четной степени было показано в пример 4.
Ответ: