«Симметрические уравнения, системы. Их методы решения.»

Симметрические многочлены от трех переменных

В первой части мы рассмотрели симметрические многочлены от двух переменных: они, при перестановке местами не меняли своего вида. Очевидно, что в симметрическом многочлене от трех переменных можно сделать три таки замены: . Назовем многочлен симметрическим, если при любой из трех постановок он остается неизменным. Тогда условие симметричности запишется в виде:
Аналогично у данных многочленов существуют и элементарные симметрические многочлены: .
Теорема. Любой симметрический многочлен от x,y,z можно представить в виде многочлена, состоящего из элементарным симметрических многочленов от трех переменных.
Доказательство аналогично «симметрические многочлены от двух переменных»
Соответственно у таких многочленов существуют и степенные суммы.

Примеры решений уравнений и их систем

Перед тем как начать разбирать какой-либо пример, стоит напомнить теорему Виета для кубического уравнения: пусть – корни кубического уравнения , то имеют место соотношения: .
Пример 14. Решить систему уравнений
Сделаем замену: .Таким образом, подставляя данные значения в исходную систему, система примет следующий вид: . Согласно теореме Виета, мы можем составить кубическое уравнение . Преобразуем левую часть уравнения: . Тогда корнями этого уравнения являются числа . Таким образом, мы получили шесть решений, получаемых постановками из решений:
Пример 15. Решить систему уравнений
Сделаем замену . С первыми двумя уравнениями все просто: . Труднее дело обстоит с третьим уравнением. Оно не является симметрическим. Возведем обе части уравнения в квадрат. Тогда имеем: . Теперь левая часть уравнения представляет собой симметрический многочлен. Путем преобразований получаем, что . Теперь, подставив найденные значения , останется квадратное уравнение относительно : . Итак, мы имеем: . По теореме Виета составим кубическое уравнение . Решая его, находим корни: . НО! Мы не учли, что при возведении третьего уравнения в квадрат могли появиться посторонние корни. Методом проверки приходим к верному ответу.
Ответ:
Пример 16. Докажите, что если , то .
Условие задачи можно записать в виде системы, до этого сделав замену на элементарные симметрические многочлены от трех переменных: . Из этой системы равенств находим, что . Но , соответственно отсюда и следует необходимое равенство.
Данные примеры иллюстрируют основные подходы к решению систем уравнений с симметрическими многочленами от трех переменных. Больше мы к ним не вернемся.