Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

2.1.2-teorema. Ixtiyoriy kompleks da (2.1.11) tenglama yechimlaridan tuzilgan chiziqli fazoning o‘lchami ikkiga teng.

Isbot. Bu tasdiqning isboti 2.1.1-teorema va 2-xossadan kelib chiqadi.

2.2. Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun Grin funksiyasi va uning xossalari.

Ushbu

(2.2.1)

(2.2.2)

Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi berilgan bo‘lsin.

2.2.1-ta’rif. Chegaraviy masalaning Grin funksiyasi deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaga aytiladi:

1) funksiya x to‘plamda uzluksiz;

2) parametrning ixtiyoriy tayinlangan qiymatida funksiya va oraliqlarda ushbu

(2.2.3)

bir jinsli tenglamani qanoatlantiradi;

3) funksiyaning nuqtadagi sakrashi (-1) ga teng, ya’ni

;

4) funksiya (2.2.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.

Quyidagi Koshi masalalarining yechimlarini maos ravishda va orqali belgilaymiz:



bo‘lsin, u holda

, (2.2.4)

, (2.2.5)

bo‘ladi.

2.2.1-xossa. funksiyaning nollari xos qiymatlardan iborat bo‘ladi.

2.2.1-teorema. 1) Agar son (2.2.1)-(2.2.2) chegaraviy masalaga mos keluvchi bir jinsli masalaning Grin funksiyasi mavjud va yagona bo‘lib, ushbu

(2.2.6)

Formula bilan beriladi.

2) Agar son (2.2.1)-(2.2.2) masalaga mos keluvchi bir jinsli masalaning xos qiymati bo‘lsa, u holda (2.2.1)-(2.2.2) masalaning Grin funksiyasi mavjud bo‘lmaydi.

Ushbu teoremaning isbotiga to‘xtalmaymiz.

Demak Grin funksiyasi mavjud va yagona bo‘lib u (2.2.6) formula bilan beriladi.

2.2.1-tatija. Grin funksiyasi uchun yozilgan (2.2.6) formuladan uning va ga nisbatan simmetrikligi, ya’ni kelib chiqadi.

2.2.1-teorema. (D.Gilbert) Agar son (2.2.1)-(2.2.2) chegaraviy masalaga mos keluvchi bir jinsli masalaning xos qiymati bo‘lmasa, u holda ixtiyoriy funksiya uchun(2.2.1)-(2.2.2) masalaning yechimi mavjud va yagona bo‘ladi, u ushbu

, (2.2.7)

formula bilan beriladi.

Isbotga to‘xtalmaymiz.

2.2.2-ta’rif. (2.2.7) tenglik bilan beriladigan chiziqli integral operatorga Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining rezolventasi deyiladi.

2.2.1-izoh. Ushbu

Chegaraviy masalaning Grin funksiyasi deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaga aytiladi:

1) funksiya to‘plamda uzluksiz;

2) parametrning ixtiyoriy tayinlangan qiymatida funksiya va oraliqlarda bir jinsli

tenglamani qanoatlantiradi;

3) funksiyaning nuqtadagi sakrashi ga teng, ya’ni

;

4) funksiya chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.

Bir jinsli chegaraviy masalaning noldan farqli yechimi bo‘lmasa, qaralayotgan masalaning Grin funksiyasi ushbu

formula orqali topiladi. Bu yerda va funksiyalar quyidagi:

Bir jinsli tenglamaning mos ravishda birinchi va ikkinchi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi biror yechimlari, .