Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

II BOB. CHEKLI ORALIQLARDA BERILGAN SHTURM-LIUVILL MASALASI

2.1. Shturm–Liuvill tenglamasi uchun qo`yilgan Koshi masalasi

Xos qiymatlarning va xos funksiyalarning sodda xossalari

Quyidagi masalaga

(2.1.1)

(2.1.2)

Shturm – Liuvill chegaraviy masalasi deyiladi. Bu yerda haqiqiy uzluksiz funksiya bo`lib, va berilgan haqiqiy sonlardir, esa kompleks parametr.

Agar (2.1.1) tenglamani chegaraviy shartlar bilan qarasak, hosil bo`ladigan chegaraviy masalaga Dirixle masalasi deyiladi, agar chegaraviy shartlar bilan qarasak, hosil bo`ladigan chegaraviy masalaga Neyman masalasi deyiladi.

(2.1.1) tenglamaning koeffitsiyentga (2.1.1)-(2.12) Shturm–Liuvill masalaning potensali deyiladi.

2.1.1-ta`rif. Agar parametrning biror qiymatida (2.1.1)-(2.12) chegaraviy masala noldan farqli yechimga ega bo`lsa, songa (2.1.1)-(2.12) chegaraviy masalaning xos qiymati deyiladi, yechimga ega xos qiymatga mos keluvchi xos funksiya deyiladi.

(2.1.1)-(2.12) Shturm–Liuvill masalasining barcha xos qiymatlaridan tuzilgan to`plamga uning spektri deyiladi.

2.1.1-xossa. va funksiyalar tenglamaning iqtiyoriy yechimlari bo`lsin. U holda ulardan tuzilgan

Vronskiy determinanti o`zgaruvchiga bog`liq bo`lmaydi.

Isbot. Buning uchun ushbu

,

tenglik bajarilishini ko`rsatish yetarli:

2.1.2-xossa (2.1.1) tenglamaning ikki yechimi chiziqli bog`liq bo`lishi uchun ulardan tuzilgan Vronskiy determinanti nolga teng bo`lashi zarur va yetarli.

Isbot. Ushbu

ayniyatdan quyidagi

const

munosabatning bajarilashi uchun

bo`lishi zarur va yetarli ekani kelib chiqadi.