Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun Grin funksiyasi va uning xossalari

Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun Grin funksiyasi va uning xossalari
Ushbu
- y" + q⁽ x)y = Ay + ^{f( x)}, (1.9.1)
y(0)cosa + y'(0)sina = 0,
n^icos 3 + y'«)sm 3 = 0, (₁.₉.₂)
Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi berilgan bo‘lsin.
Ta'rif 1.9.1. (1.9.1)+(1.9.2) chegaraviy masalaning Grin funksiyasi deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi G(x, t,A) funksiyaga aytiladi:

1. 
   G(x, t, Л) funksiya [0, л] x [0, л] to‘plamda uzluksiz;
   
2. 
   t e [0, л] parametrning ixtiyoriy tayinlangan qiymatida G(x, t, Л)
   

funksiya [0, t) va (tp\ oraliqlarda ushbu
- y" + q(x)У = Лу (1.9.3)
bir jinsli tenglamani qanoatlantiradi;

3. 
   G"(x, t, Л) funksiyaning x = t nuqtadagi sakrashi (-1) ga teng, ya'ni
   

^G"⁽x t, ^Л)| x=t₊0^-G'_X ⁽x t, ^Л)| x=t-0=^-1;

4. 
   G(x, t, Л) funksiya (1.9.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
   

p(x, Л) va
Quyidagi Koshi masalalarining yechimlarini mos ravishda


'- y" + q( x) y = Лу, < у(л) = - sin 3,
y'(л) = cos 3.
y( x,A) orqali belgilaymiz:
- y” + q(x)y = Лу,
< y(0) = - sin a,
y'(0) = cosa, й)(Л) = Wp(x, Л), y(x, Л)} bo‘lsin. U holda





р(0,Л) у(0, Л) p (0,Л) у' (0,Л)

- sin a cosa

у(0, Л)

у (0,Л)

(1.9.4)

ю(Л) =

Р(л,Л)
p (л, Л)

У (л, Л)
У (л,Л}

Р(л,Л)
p (л,Л)

- sin 3
cos3


= -[y(0P)cosa + у"(0,Л)sin a],
va

(1.9.5)
= р(л, Л) cos 3 + Р р (л, Л) sin 3,
bo‘ladi.
1-xossa. й)(Л) funksiyaning nollari xos qiymatlardan iborat bo‘ladi.
Bu fikr (1.9.5) tenglikdan kelib chiqadi. Chunki (1.9.5) tenglikning o‘ng tomonida (1.9.3)+(1.9.2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xarakteristik funksiyasi turibdi. ■
Teorema 1.9.1. 1) Agar Л son (1.9.1)+(1.9.2) chegaraviy masalaga mos keluvchi bir jinsli masalaning хos qiymati bo‘lmasa, (1.9.1)+(1.9.2) masalaning Grin funksiyasi mavjud va yagona bo‘lib, u ushbu



G( x, t ,Л) = <

'( x,A^(t,A)
ш(Л)
/( х,Л)ф(1,Л)
®(Л)


formula bilan beriladi.

2. 
   Agar Л son (1.9.1)+(1.9.2) masalaga mos keluvchi bir jinsli masalaning xos qiymati bo‘lsa, Grin funksiyasi mavjud bo‘lmaydi.
   

Isbot. Grin funksiyasi ta'rifidan kelib chiqib, uni ushbu


G( x, t ,Л) = <

(1.9.6)
A(t)^(x, Л) + B(t)/(x, Л), x < t,
C(t)р(x, Л) + D(t)/(x, Л), x > t, ko‘rinishda izlaymiz.
Grin funksiyasi ta'rifining birinchi shartiga ko‘ra u uzluksiz bo‘ladi, demak, quyidagi tenglik bajariladi:
A(t )p(t, Л) + B(t )/(t, Л) - C(t )p(t, Л) - D(t )/(t, Л) = 0. (1.9.7)
Uchinchi shartga ko‘ra esa
A(t )'(t, Л) + B(t )/(t, Л) - C (t )'(t, Л) - D(t )/ (t, Л) = 1 (1.9.8)
bo‘ladi.
To‘rtinchi shartdan
\A(t )р(0,Л) + B(t )/(0, x)]cosa + \A(t )p' (0,Л) + B(t )/' (0,2)]sin a = 0, (1.9.9)
[C (t )р(л, Л) + D(t ///(>, x)]cos 3 + \C (t t)'' (л, Л) + D(t )/ (л, 2)]sin 3 = 0 (1.9.10)
кеНЬ chiqadi. (1.9.9) va (1.9.10) tengliklarni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz: A(t)[р(0, Л)cosa + р'(0, Л) sin a] + B(t)[/(0, Л)cosa + /'(0, Л) sin a] = 0 ,
(1.9.11)



(1.9.12)
va (1.9.12)
(1.9.13)

(1.9.14)
C(t)\р(л, Л) cos 3 + р'(л, Л) sin 3] + D(t)\/(л, Л) cos 3 + /(л, Л) sin 3] = 0 .
Agar ushbu
(о(Л) = - [/(0, Л)с(жа + /' (0,2)sina], ш(Л) = р(л, Л) cos fl + р'(л, Л) sin 3, formulalarni va boshlang‘ich shartlarni e'tiborga olsak, (1.9.11) tengliklar quyidagi ko‘rinishni oladi:
B(t )м(Л) = 0,
C(t )&(Л) = 0. Quyidagi hollarni ko‘rib chiqamiz.
1) ю(Л) Ф 0 bo‘lsin. U 1ю1с1а
B(t) = 0, C(t)=0 (1.9.15)
bo‘ladi. Bularni (1.9.7) va (1.9.8) tengliklarga qo‘ysak, ushbu
Ap(t,Л) - D/(t,Л) = 0, ^{( ) 0} (1.9.16)
Aр'(t,Л) - D/(t,Л) = 1,
sistema fosil bo‘ladi. (1.9.16) sistemani Kramer qoidasi yordamida yechamiz:

A = -®(2), Aj=

-^(t ,2)

-^'(t,2)

= W(t,2), A2=

p(t,2)

V (t ,2)

= p(t ,A),


bo‘lgani uchun






A(t)=-

y(t ,2)
co(2) ^,

D(t)=-

p(t ,2)
co(2) ’

(1.9.17)

bo‘ladi. Topilgan (1.9.15) va (1.9.17) ifodalarni (1.9.6) tenglikka qo‘yib,


G( x, t ,2) = <

(1.9.18)
p( x,2}^(t ,2)
®(2)
W( x,2)p(t ,2)
(o{2)
bo‘lishini ko‘ramiz. Demak, bu holda Grin funksiyasi mavjud va yagona bo‘lib, u (1.9.18) formula bilan beriladi.
2) (o(2) = 0 bo‘lsin. Bu holda iy(t,2) = yp(t,2) bo‘ladi. Buni (1.9.7) va (1.9.8) tengliklarga qo‘yib,
(A + By - C - Dy)p(t, 2) = 0, (1.9.19)
(A + By- C - Dy)p'(t ,2) = 1, (1.9.20)
bo‘lishini ko‘ramiz. p(t,2) ± 0 bo‘lgani uchun A + By - C - Dy = 0 bo‘ladi. Buni (1.9.20) tenglikka qo‘ysak, 0 • p'(t, 2) = 1 ziddiyat kelib chiqadi. Demak, bu holda Grin funksiyasi mavjud emas ekan. ■