Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

Isbot. Ushbu

ayniyatda bo`lgani uchun (2.1.4) tenglik o`rinli bo`lishligi kelib chiqadi.
2.1.7-xossa. (2.1.1)-(2.12) Shturm–Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlari oddiy (karrasiz), ya`ni bitta xos quymatga mos keluvchi xos funksiyalar bir-biriga proporsionaldir.
Isbot. xos qiymatga chiziqli erkli xos funksiyalar mos keladi deb faraz qilaylik. U holda

Bo`lgani uchun, chiziqli bog`liq bo`ladi. Bu esa farazimizga ziddir.
2.1.8-xossa. funksiya Shturm–Liuvill tenglamasining bo`yicha uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy yechimi bo`lsin. U holda

tenglik bajariladi. Bu yerda
Isbot. Ushbu
(2.1.5)
ayniyatdan bo`yicha hosila olsak,
(2.1.6)
tenglik kelib chiqadi. (2.1.5) va (2.1.6) tengliklarni mos ravishda funksiyalarga ko`paytirib, bir-biridan ayirsak, ushbu

Ayniyat hosil bo`ladi. Bu tenglikni kesmada integrallasak, ushbu

formula kelib chiqadi.
2.1.9-xossa. Agar quyidagi chegaraviy masalaninig

Xos qiymatlari va xos funksiyalari bo`lsa, u holda ushbu
(2.1.7)
Chegaraviy masalaning xos qiymatlari va xos funksuyalari bo`ladi. Bu yerda o`zgarmas son.
Isbot. Ushbu

Chegaraviy masala noldan farqli yechimda ega bo`lishi uchun bo`lishi zarur va yetarli. Shartga ko`ra, bu holda oxirgi chegaraviy masala yechimga ega. Demak (2.1.7) masalaning xos qiymatlari va xos funksiyalari bo`ladi.
(2.1.1) differensial tenglamaning quyidagi boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilaymiz. Xuddi shuningdek, (2.1.1) tenglamaning ushbu boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilab olamiz. Bu yerda yechim (2.1.2) chegaraviy shartlardan birinchisi, yechim esa ikkinchisini qanoatlantiradi. Bu va yechimlarini mos ravishda (2.1.2) chegaraviy shartlardan ikkinchisiga va birinchisiga qo`yib, ushbu

Tenglamalarni hosil qilamiz. Bu tenglamalarga (2.1.1)-(2.12) Shturm–Liuvill chegaraviy masalasining xarakteristik tenglamalari deyiladi. Shturm–Liuvill tenglamasining va yechimlaridan tuzilgan ushbu

vronskiy determinantini qaraymiz. Biz yuqorida bu determinant o`zgaruvchiga bog`liq emasligini ko`rsatgan edik. Shuning uchun ushbu

tengliklarni yozishimiz mumkin. Bu tengliklardan

kelib chiqadi. Bu yerdagi funksiyalar o‘zgaruvchining butun funksiyalari bo’lib, sanoqlita nollarga ega ekanligini keyinchalik ko‘rsatamiz.
xarakteristik tenglamaning , ildizlari Shturm-Liuvill chegaraviy masalaning xos qiymatlaridan iborat bo‘lib, va funksiyalar uning xos funksiyalri bo‘ladi va ushbu
(2.1.8)
tenglik bajariladi. Haqiqatan ham soni tenglamaning ildizi bo‘lsa, u holda bo‘lgani uchun (2.1.8) tenglik o‘rinli bo‘ladi. va funksiyalar (2.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, bundan esa son xos qiymat hamda va funksiyalar Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos funksiyalari ekanligi kelib chiqadi.
2.1.1-izoh. Odatda, agar (2.1.2) chegaraviy shartlardan birinchisi ushbu ko‘rinishda bo‘lsa, u holda yechim boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradigan qilib olinadi. Agar (2.1.2) chegaraviy shartlardan birinchisi ko‘rinishda bo‘lsa, u holda yechim boshlaang‘ich shartlarni qanoatlantiradigan qilib olinadi.
Agar soni Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining cos qiymati bo‘lib, unga mos keluvchi xos funksiya bo‘lsa, u holda va qiymatlardan kamida bittasi noldan farqli bo‘ladi, aks holda yechimning yagonaligi haqidagi Koshi teoremasidan ekanligi kelib chiqadi. Bu esa xos funksiya ta’rifiga ziddir. Xuddi shuningdek va qiymatlaridan kamida bittasi noldan farqli bo‘lishi ko‘rsatiladi.
Quyidagi
,
sonlarga (2.1.1)-(2.1.2) chegaraviy masalaning normallovchi o‘zgarmaslari deyiladi. (2.1.1)-(2.1.2) masalaning ortonormallangan xos funksiyalari quyidagi tengliklardan topiladi:
, .