Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

2.1.2-ta’rif. Ushbu , sonli ketma-ketliklar juftligiga Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral berilganlari (spektral xarateristikalari) deyiladi.
2.1.3-ta’rif. Monoton o‘suvchi chaodan uzluksiz ushbu
(2.1.9)
funksiya Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral funksiyasi deyiladi.
2.1.10-xossa. Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining normallovchi o‘zgarmaslari uchun ushbu
(2.1.10)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda

funksiya (2.1.1)-(2.1.2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xarakteristik funksiyasi, funksiya (2.1.1) tenglamaning boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimidir.
2.1.3-natija. (2.1.8) tenglikdan foydalanib, (2.1.10) tenglikni qyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

2.1.4-natija. (2.1.10) formuladan (2.1.1)-(2.1.2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining

xarakteristik funksiyasi karrali ildizga ega emasligi kelib chiqadi.
Quyidagi Koshi masalasini ko‘rib chiqamiz:
(2.1.11)
(2.1.12)
Bu yerda haqiqiy funksiya bo‘lib, ixtiyoriy haqiqiy sonlar. (2.1.11)-(2.1.12) Koshi masalasiga ekvivalent bo‘ladigan inetgral tenglama tuzamiz. funksiya (2.1.11)-(2.1.12) masalaning biror yechimi bo‘lsin. (2.1.11) tenglamani avvalo ushbu
(2.1.13)
ko‘rinishda yozib olamiz. Bu yerda
(2.1.14)
So‘ngra (2.1.13) tenglama uchun Koshi funksiyasini tuzamiz, ya’ni tarkibida parametr qatnashgan ushbu

Koshi masalasining yechimini topamiz;



Shuning uchun (2.1.13) tenglamaning umumiy yechimi
(2.1.15)
ko‘rinishda bo‘ladi. (2.1.12) boshlang‘ich shartlardan
(2.1.16)
Bo‘lishi kelib chiqadi. (2.1.14) va (2.1.16) tengliklardan foydalanib, (2.1.15) ayniyatni ushbu
(2.1.17)
ko‘rinishda yozamiz. (2.1.17) tenglik izlangan integral tenglamadir. Bu tenglama Volterraning ikkinchi turdagi integral tenglamasidir.
Shunday qilib, (2.1.11)-(2.1.12) Koshi masalasinig yechimi mavjud bo‘lsa, u (2.1.17) integral tenglamani qanoatlantirar ekan. Aksincha, funksiya (2.1.17) integral tenglamaning uzluksiz yechimi bo‘lsa, u (2.1.11)-(2.1.12) koshi masalasining ham yechimi bo‘ladi. Haqiqatan ham, uzluksiz ekanligidan (2.1.17) ayniyatning o‘ng tomoni differensiallanuvchi bo‘lishi kelib chiqadi, bundan esa chap tomon ham hosilaga ega bo‘lishi ko‘rinadi. Undan hosila olsak, ushbu
(2.1.18)
tenglik hosil bo‘ladi. (2.1.18) ayniyatdan yana hosila olsak,
,
ya’ni

tenglik kelib chiqadi. (2.1.17) va (2.1.18) tengliklardan desak, (2.1.12) boshlang‘ich shartlarni olamiz.
2.1.1-teorema. Agar bo‘lsa, u holda (2.1.11)-(2.1.12) Koshi masalasinig kesmada aniqlangan yechimi mavjud va yagona bo‘lib, u o‘zgaruvchining har bir tayinlangan qiymatida bo’yicha tartibdagi butun funksiyadir, ya’ni tayinlangan da funksiya kompleks tekislikning ixtiyoriy chegaralangan sohasida kompleks ma’noda differensiallanuvchidir.
Ushbu teoremaning isbotini keltirmaymiz.