Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

2.3 Matematik fizika tenglamalariga qo`yilgan chegaraviy masalalar uchun Shturum-Liuvill masalasining qo`yilishi.

1) Bir jinsli torning erkin tebranishi.
Uchlari x=0 va x=l nuqtalarda mahkamlangan tor tebranishi tenglamasi masalasi uchun Fur’ye yoki o‘zgaruvchilarni ajratish usulini bayon qilamiz. Bu masala quyidagicha ifodalanadi:
(2.3.1)
Boshlang‘ich shartlar:
(2.3.2)
Chegaraviy shartlar:
(2.3.3)
Dastlab, (1) tenglamaning xususiy yechimlarini quyidagi korinishda qidiramiz:
, (2.3.4)
bu funksiyalr aynan nolga teng emas va (2.3.3) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin.
(2.3.4) funksiyani (2.3.1) tenglama qo‘yiamiz:
yoki . (2.3.5)
Oxirgi tenglikning chap tomoni x ga, o‘ng tomoni t ga bog‘liq emas.
Demak, va miqdorlarning har biri x ga ham, t ga ham bog‘liq emas, ya’ni ular o‘zgarmas. Bu o‘zgarmasni - orqali belgilab olamiz. U holda, (2.3.5) ga asosan quyidagi oddiy differensial tenglamalarga kelamiz:
, (2.3.6)
, (2.3.7)
bu yerda .
Shunday qilib, (2.3.5) tenglama ikkita tenglamaga ajraldi, bulardan biri faqat x ga bog‘liq funksiyani, ikkinchisi esa faqat t ga bog‘liq funksiyani o‘z ichiga oladi. Bunday hollarda o‘zgaruvchilar ajraldi deb aytiladi.
(2.3.4) ko‘rinishdagi (2.3.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi aynan nolga teng bo‘lmagan yechimni topish uchun (2.3.7) tenglamaning
. (2.3.8)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi aynan nolga teng bo‘lmagan yechimni topish kerak. Shunday qilib, biz quyidagi masalaga keldik:
parametrning shunday qiymatlarini topish kerakki, bu qiymatlarda (2.3.7) tenglama (2.3.8) shartlarni qanoatlantiruvchi noldan farqli yechimga ega bo‘lsin. Bu masala odatda Shturm-Liuvill masalasi deyiladi.
ning bunday qiymatlari (2.3.7), (2.3.8) masalaning xos qiymatlari (sonlari), bu qiymatlarga mos yechimlari esa xos funksiyalari deyiladi.
(2.3.7) tenglamaning umumiy yechimi , , bo‘lishiga qarab turli ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Shuning uchun 3 ta holni alohida-alohida tekshiramiz.
1) bo‘lgan hol. (2.3.7) ning umumiy yechimi:

ko‘rinishda bo‘ladi. Bunda va - ixtiyoriy o‘zgarmaslar.
(2.3.8) chegaraviy shartdan kelib chiqadi. Demak, .
2) bo‘lgan hol. (2.3.7) ning umumiy yechimi:

ko‘rinishda bo‘ladi. Bunda va - ixtiyoriy o‘zgarmaslar.
(2.3.8) chegaraviy shartdan kelib chiqadi. Demak, .
3) bo‘lgan hol. (2.3.7) ning umumiy yechimi:

ko‘rinishda bo‘ladi. Bunda va - ixtiyoriy o‘zgarmaslar.
(2.3.8) chegaraviy shartdan
, kelib chiqadi. Biz deb hisoblaymiz, aks holda bo‘lib qoladi.
Demak, . bo‘ganda (2.3.7), (2.3.8) masala noldan farqli yechimga ega bo‘ladi.
Bu masalaning xos sonlari:

Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi:
.
bo‘lganda (2.3.6) tenglama quyidagi umumiy yechimga ega:
,
shuning uchun

funksiya har qanday va uchun (1) masalani va (2.3.3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
(2.3.2)-(2.3.3) shartlarni qanoatlantiruvchi (2.3.1) masalaning yechimini qator ko‘rinishida qidiramiz:
(2.3.9)
Agar bu qator tekis yaqunlashuvchii bo‘lib, uni hadma-had ikki marta differensiallash mumkin bo‘lsa, u vaqtda qator yig‘indisi (2.3.1) tenglamani va (2.3.3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
va doimiy koeffisiyentlarni shunday aniqlaymizki (2.3.9) qator yig‘indisi (2.3.2) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin, quyidagi tengliklarga kelamiz:
(2.3.10)
(2.3.11)
(2.3.10) va (2.3.11) formulalar va funksiyalarning (0,l) intervalda sinuslar bo‘yicha Furye yoyilmasini beradi. Bu yoyilmalarning koeffisiyentlari quyidagi formulalar bilan topiladi:
_(2.3.12)

Endi (2.3.9) qatorni va uni ikki marta differensiallash natijasida hosil bo‘lgan qatorlarning tekis yaqinlashuvchinligini ko‘rsatsak, (2.3.9) qator bilan aniqlangan funksiya haqiqatan ham (2.3.1), (2.3.2), (2.3.3) masalaning yechimidan iborat bo‘ladi. Quyidagi teorema o‘rinli.