Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

1.1.4-teorema. Ushbu tenglama bir jinsli bo‘lmagan shartni qanoatlantiradigan yagona yechimga ega bo‘lishi uchun mos bir jinsli chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. Bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masalaning yechimi funksiya bo‘lsin. Unda , , ayniyatlar o‘rinli bo‘ladi. Bir jinsli differensial tenglamaning fundamental sistemasi funksiyalardan iborat bo‘lsin. U holda ixtiyoriy yechim

formula bilan yoziladi. O‘zgarmas larning biror qiymatida yechim hosil bo‘lsin deylik, ya’ni . Bu funksiyani bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy shartga qo‘yamiz. Sodda o‘zgarishlar natijasida quyidagini hosil qilamiz:

Demak, ushbu
(1.1.27)
sistemaga egamiz. Bu sistemaning determinanti ((1.1.10 )ga qarang), chunki , . Ammo bo‘lganda mos bir jinsli chegaraviy masala 1.1.1-teoremaga ko‘ra faqat trivial yechimga ega bo’ladi.
Yetarliligi. Bir jinsli chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lsin. U holda bo‘ladi. Demak (1.1.27) ga ko‘ra bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala yagona trivialmas yechimga ega, chunki (1.1.27) da tengsizlikni qanoatlantiradigan o‘zgarmaslar bir qiymatli topiladi. Teorema to‘la isbot bo‘ldi.
1.1.1-natija. Agar bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala ikkita va , yechimga ega bo‘lsa, u holda funksiya mos bir jinsli chegaraviy masalaning trivialmas yechimi bo‘ladi, aksincha, agar bir jinsli chegaraviy masala trivialmas yechimlarga ega bo‘lsa, u holda bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala yo bironta ham yechimga ega bo‘lmaydi yoki cheksiz ko‘p yechimlarga ega bo‘ladi.
Isbot. Avval natijaning birinchi qismini isbotlaymiz.
Ravshanki, , va demak, , yana shunga o‘xshash ( ) munosabatlardan kelib chiqadi. Shuning uchun bir jinsli chegaraviy masala , uchun trivialmas yechim bo‘ladi.
Endi agar bir jinsli chegaraviy masala trivialmas , yechimga ega bo‘lsa, bo‘ladi. (1.1.10 ga qarang). U holda (1.1.27) sistema yo yechimga ega bo‘lmaydi yoki cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi.
Natija isbot etildi.
Endi chiziqli bir jinsli bo‘lmagan tenglamani olaylik, ya’ni , shu bilan birga bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy shart ham berilgan bo‘lsin. Boshqacha aytganda, ushbu
(1.1.28)
bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masalani ko‘raylik. Bu masalaning yechimi haqida fikr yurutish uchun avval shartni qanoatlantiradigan ixtiyoriy funksiyani olamiz. So‘ngra almashtirishni bajaramiz. Bu funksiya uchun
,
ya’ni
(1.1.29)
bir jinsli chegaraviy shartga ega bo‘lamiz. Berilgan differensial tenglama ( funksiyaga nisbatan)

yoki
(1.1.30)
ko‘rinishga keladi. Endi (1.1.30), (1.1.29) bir jinsli chegaraviy masalani ko‘rish mumkin. 1.1.3-teoremaga ko‘ra, agar , masala faqat trivial yechimga ega bo‘lsa, u holda oraliqda uzluksiz bo‘lgan ixtiyoriy funksiya uchun (1.1.30), (1.1.29) masalning yechimi mavjud va
(1.1.31)
ko‘rinishda yoziladi. Agar funksiya mos bir jinsli tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda , bo‘ladi va (1.1.31) formula ko‘rinishda yozilishi mumkin.
Shunday qilib quyidagi teorema isbot etildi.