Sherimmetova xurshidaning matematik analiz fanidan ixtiyoriy hadli qatorlar va ular

yaqinlashuvchi qatorlar

Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar:

1-ta’rif. Ushbu

u₁ -u₂₊ u_3- u₄₊ ...+(-1)ⁿ u_n ... u_n , (1)

bu yerda u u₁, ₂, u₃, ..., u_n, ... musbat sonlar, qator ishoralari navbatlashuvchi qator deyiladi.

Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar uchun quyidagi teorema o`rinli:

1-teorema (Leybnits teoremasi). Agar ishoralari navbatlashuvchi

u₁ -u₂ +u₃ -u₄ +...+(-1)ⁿ u_n +.......

qatorda

qator hadlarining absolyut qiymatlari kamayuvchi, ya`ni u₁ > u₂ > u₃ >u₄ > ...>u_n > ... (2)

bo`lsa,

qatorning u_n umumiy hadi n da nolga intilsa:

lim_n➱∞u_n=0 (3)

u holda (1) qator yaqinlashuvchi

bo`ladi.

Isboti. n =2m, ya`ni juft bo`lsin. U holda S_2m ni quyidagicha yozib olamiz: S_2m =(u₁ -u₂ )+(u₃ -u₄ )+ ...=(u_2m-1 -u_2m ). (2) shartga ko`ra u<sub>2m</sub>-u<sub>2m</sub>>0 (m=1,2,…), demak S<sub>2m</sub> > 0 va xususiy yig`indilar ketma-ketligi {S_2m } o`suvchi bo`ladi.

Endi S_2m xususiy yig`indini quyidagi ko`rinishda yozamiz:

S_2m =u₁ -(u₂ –u₃ )-...-(u_2m-2 –u_2m-1 )-u_2m.

Yana (2) shartga ko`ra u₁ > S_2m tengsizlikni hosil qilamiz.

Shunday qilib, {S_2m} xususiy yig`indilar ketma-ketligi o`suvchi va yuqoridan chegaralangan. Demak, lim_m➱∞S_2m =S, shu bilan birgalikda

u₁ >S >0.

Endi toq indeksli {S_2m+1} xususiy yig`indilar ketma-ketligi ham S limitga intilishini ko`rsatamiz. Haqiqatan ham,

S_2m+1=S_2m+u_2m+1

Bo`lgani uchun m➱∞ da

lim_m➱∞S_2m+1=lim_m➱∞S+lim_u➱∞=lim_m➱∞S_2m=S

ga ega bo`lamiz, bunda (3) shartga ko„ra

lim_m➱∞S_2m+1=0

Demak, lim_n➱∞u_2m+1 , qator yaqinlashuvchi.

1-misol.

- + -…….+(-1)ⁿ⁺¹ +…..

qatorni yaqinlashishga

tekshiring.

Yechish.

> > >…….> >….. va lim_n➱∞u_n=lim_n➱∞ =0

Demak, yuqoridagi teoremaga asosan qator yaqinlashuvchi.

Absolyut yaqinlashuvchi va shartli yaqinlashuvchi qatorlar

Endi ixtiyoriy hadli qatorlarni qaraylik. 2-teorema. Agar ixtiyoriy hadli

u₁ +u₂ +u₃ +u₄ + ...u_n +... (4)

qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan

|u₁|+|u₂|+|u₃|+|u₄|+……|u_n| +......

(5)

qator yaqinlashsa, u holda berilgan qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi.

Isbot. S` va S`_n mos ravishda (4) va (5) qatorlarning n-xususiy yig`indilari bo`lsin. S_n^- bilan barcha musbat va S_n⁺ bilan S_n xususiy yig`indidagi barcha manfiy ishorali hadlar absolyut qiymatlari yig`indisini belgilaymiz. U holda S_n = S_n⁺-S_n^-, S_n' =S_n⁺+S_n^- bo`ladi.

Shartga ko`ra, (5) qator yaqinlashuvchi, shu sababli {S<sub>n</sub> '} xususiy yig`indilar ketma-ketligi S limitga ega.

{S_n⁺} va {S_n^-} lar esa musbat va o`suvchi, shu bilan birgalikda

S_n⁺< S_n '<S va S_n^- <S_n '<S (chegaralangan), demak, ular ham limitga ega: limS_n⁺= S⁺, limS_n^- = S^-

S_n = S_n⁺-S_n^- munosabatdan {S_n } ham limitga egaligi kelib chiqadi:

S_n = - S_n^- = S⁺ - S^- .

2-ta’rif. Ixtiyoriy hadli

u₁ +u₂ +u₃ +u₄ + ...+u_n + ... (4)

qator hadlari absolyut qiymatlaridan tuzilgan

|U₁|+|U₂|+|U₃|+|U₄|+….+|U_n|+…….. (5)

qator yaqinlashuvchi bo`lsa, (4) qator yaqinlashuvchi qator deyiladi.

3-ta’rif. Agar ixtiyoriy hadli (4) qator yaqinlashuvchi bo`lib, bu qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan (5) qator uzoqlashuvchi bo`lsa, u holda (4) qator shartli yaqinlashuvchi deyiladi.

2-misol. Quyidagi qatorni qaraylik :

1- + - ……+(-1)^n–1 +……..

Leybnits alomatiga ko`ra bu qator yaqinlashuvchi, lekin qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan 1+ + qator n uzoqlashuvchi.

Demak, qator shartli yaqinlashuvchi.

3-misol.Quyidagi qatorni absolyut qiymatlaridan tuzilgan

qator umumlashgan garmonik qator (r=2>1) bo`lib, yaqinlashuvchi.
Demak, berilgan qator absolyut yaqinlashuvchi.
Shu paragrafning birinchi punktida ishora navbatlashuvchi qator
yaqinlashishining yetarli sharti isbotlandi.

Ixtiyoriy hadli qatorlar uchun bunday sodda yaqinlashish alomati mavjud emas.

Lekin ixtiyoriy hadli qatorni absolyut yaqinlashishga tekshirganda musbat qatorlar uchun isbotlangan taqqoslash, Dalamber, Koshi alomatlaridan foydalanish mumkin.

4-misol.Ushbu

+ +…+ +… (1)

Qatorni yaqinlashishga tekshiring, bu yerda α-ixtiyoriy haqiqiy son

Yechish.Berilgan qator bilan birga

+| +…+ +… (2)

Qatorini qaraymiz.Bu qatorni ishbu yaqinlashuvchi

1+ + + +…+ +…..

Qator bilan taqqoslaymiz

Ravshanki, < , n=1,2,…..

Shu sababli taqqoslash alomatiga ko`ra (8) qator yaqinlashuvchi.U holda 2-ta`rifga ko`ra berilgan (1) qator

Qator hadlari o‘rinlarini almashtirish bilan bog‘liq xossalar

Chekli yig`indining muhim xossalaridan biri o`rin almashtirish xossasidir, ya`ni yig`indi qo`shiluvchilar tartibiga bog`liq emasligidir. Bu xossa qatorlar uchun o`rinlimi? degan savolni qarash tabiiydir, ya`ni yaqinlashuvchi qator hadlarini istalgancha o`rinlarini almashtirish natijasida qator yig`indisi o`zgarmaydimi (yaqinlashuvchi bo`lib qoladimi)?

Absolyut yaqinlashuvchi qatorlarning o‘rin almashtirish

xossasi

1-teorema. Agar absolyut yaqinlashuvchi qatorda hadlarini istalgan tartibda o`zgartirsak yana absolyut yaqinlashuvchi qator hosil bo`lib, uning yig`indisi avvalgi qator yig`indisiga teng bo`ladi.

Isboti. Bu teoremani, avval musbat qator uchun isbotlaymiz.

Aytaylik

a₁ +a₂ +a₃ +...+ a_n +... (1) musbat qator va uning yig`indisi S bo`lsin.

Bu qator hadlarini biror usulda o`rinlarini almashtirib, yangi

b₁ +b₂ +b₃ +...+b_n +...

qatorni hosil qilamiz. Bu qator hadlarini eski belgilash orqali yozib chiqamiz: b₁= a_k(1), b2 =ak(2), b3 = ak(3),..., bn = ak (n ),... . U holda qator quyidagi ko`rinishda yoziladi:

a_k(1) +a₍₂₎ + a₍₃₎ +...+a₍₄₎ +...

(2)

Ravshanki, (1) qatorning har bir hadi (2) qatorning ham hadi va aksincha bo`ladi. (2) qatorning <sub>n</sub> xususiy yig`indisini tuzamiz:

_n =a_k(1) + a_k(2) + a_k(3) +...+ a_k(n)

va k₍₁₎, k₍₂₎, …,k_(n) sonlardan kattasini tanlaymiz va uni m bilan belgilaymiz.

U holda (1) qatorning S_m xususiy yig„indisi hadlari ichida _n yig`indi hadlari mavjud. Shu sababli <sub>n</sub> < S<sub>m</sub> (bu yerda n ixtiyoriy, m esa n ga bog`liq tanlangan) tengsizlik o`rinli.

1. 
   musbat qator yaqinlashuvchi va yig`indisi S ga teng bo`lganligi sababli istalgan m uchun S_m <S tengsizlik o`rinli. U holda <sub>n</sub> <S albatta bajariladi. So`ngi tengsizlik (2) musbat qatorning xususiy yig`indilari yuqoridan chegaralanganligini anglatadi.
   
2. 
   
   

Demak, (2) qator yaqinlashuvchi va uning yig`indisi (1) qator yig`indisi S dan katta emas: S.

Shunday qilib, qator hadlarini o`rinlarini almashtirish natijasida qator yaqinlashishi saqlanadi.

Ikkinchi tomondan (1) qator (2) qator hadlari o`rinlarini almashtirish natijasida hosil qilinishi mumkin. Shu sababli ham (1) qator yig`indisi (2) qator yig`indisidan katta emas, ya`ni S< .

S va S < tengsizliklardan S kelib chiqadi.

Shunday qilib, musbat qator uchun teorema isbot bo`ldi.

Endi (1) ixtiyoriy absolyut yaqinlashuvchi qator va uning yig`indisi S` bo`lsin.2-teoremaga ko`ra S` =S<sup>+</sup>-S<sup>-</sup>, bu yerda S<sup>+</sup> (1) qatorning musbat hadlari yig`indisi, S<sup>`</sup> esa (1) qatorning manfiy hadlari absolyut qiymatlari yig`indisi. Berilgan qator hadlari o`rinlarini almashtirishda uning musbat va manfiy hadlar o`rinlari almashadi.

Yuqorida isbotlaganimizga ko`ra S<sup>+</sup> va S<sup>-</sup>, demak, ularning ayirmasi S`ham o`zgarmaydi. Teorema to`liq isbot bo`ldi.