Sherimmetova xurshidaning matematik analiz fanidan ixtiyoriy hadli qatorlar va ular

Teorema. (qatorlarni hadma-had ko`paytirish haqida). Agar (1) va (2) qatorlar absolyut yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda birinchi qator hadlarini ikkinchi qator hadlariga ko`paytirishdan hosil bo`lgan a_ib_k (i, k=1,2… ) ko`paytmalardan (va istalgan tartibda joylashtirilgan) tuzilgan (3) qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lib, uning S yig`indisi (1) va (2) qator yig`indilari A va B larning ko`paytmasiga teng bo`ladi.

Isboti. Teorema shartiga ko`ra (1) va (2) absolyut yaqinlashuvchi, shu sababli

|a₁|+|a₂|+|a₃|+…..+|a_n|+……. (4)

|b₁|+|b₂|+|b₃|+……+|b_n|+……. (5)

qatorlar yaqinlashuvchi bo`ladi. Bu holda

c₁ +c₂+c₃ +...+c_n +... (6) qator yaqinlashuvchi bo`lishini ko`rsatamiz.

C`<sub>n</sub> shu qatorning n-xususiy yig„indisi bo`lsin. U ab_{i k} ko`rinishdagi hadlardan tuzilgan. C`_n yig`indiga kiruvchi hadlarning i va k indekslari ichida eng kattasi mavjud va uni m bilan belgilaymiz. Endi

A`<sub>m</sub>=a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>+a<sub>3</sub>+…+a<sub>m</sub> , B`_m=b₁+b₂+b₃+…+b_m

chekli yig`indilarni ko`paytirib chiqsak, C`<sub>n</sub> ko`paytmaning barcha a_i b_k hadlari yangi hosil qilingan ko`paytma hadlari ichida bo`ladi. (4) va (5) qatorlarning musbat ekanligini e`tiborga olsak.

C`<sub>n</sub> < A`_m B`<sub>m</sub> (7) hosil bo`ladi.

(7) tengsizlikning o`ng tomonida (4) va (5) musbat qatorlarning m-ta xususiy yig`indilarining ko`paytmasi turibdi. Bu qatorlar yaqinlashuvchi bo`lganligi sababli, A`<sub>m</sub> va B`_m xususiy yig`indilar yuqoridan chegaralangan, demak, (7) tengsizlikka ko`ra C`<sub>n</sub> xususiy yig`indi ham yuqoridan chegaralangan.

Bundan (6) musbat qatorning, undan esa (3) qatorning absolyut yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.

Endi (3) qatorning S yig`indisi (1) va (2) qatorlar yig`indilari A va B ko`paytmasiga teng ekanligini ko`rsatamiz.

(3) qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lganligi sababli uning yig`indisi S a_ib_k hadlar o`rinlari tartibiga (joylashuvchiga) bog`liq emas. Shu xossadan va 2-§ dagi 3- teoremadan foydalanamiz.

Bunda avval a₁b₁ ((1) va (2) qator hadlarining eng katta indeksi 1 ga teng bo`lgan) hadi, keyin esa bu qatorlar hadlari eng katta indeks 2 ga teng bo`lgan hadlari ko`paytmasi yozilgan (bunday hadlar soni 3 ta) keyin esa eng katta indeksi 3 ga teng bo`lgan (1) va (2) qator hadlari ko`paytmasi yozilgan va hokazo.

Agar (8) qator yig`indisini topa olsak, u holda (3) qator yig`indisini topgan bo`lamiz. S<sub>n</sub> orqali (8) qatorning eng katta indeksi n bo`lgan yig`indilar guruhi bilan tugaydigan xususiy yig`indisini belgilaymiz.

(1) va (2) qatorlarning n-xususiy yig`indilarini A<sub>n</sub> va B<sub>n</sub> bilan belgilaymiz. U holda ravshanki C<sub>n</sub> = A<sub>n</sub> *B<sub>n</sub> bo`ladi. limA_n =A, limn➱∞B_n =B bo`lganligi sababli, ko`paytmaning limiti

haqidagi teoremaga ko`ra, lim<sub>n</sub>➱∞C<sub>n</sub>=A*B bo`ladi.

Shunday qilib, (3) qator yig`indisi uchun C <sub>=</sub>A *B tenglik o`rinli.

va qatorlar hadlarining mumkin bo`lgan barcha

Ko`paytmalaridan tuzilgan qator berilgan qatorlarning ko‘paytmasi deyiladi.

Amalda qatorlar ko`paytmasini quyidagicha yozish qulay:

AB= a₁b₁+(a₁b2+a₂b₁)+(a₁b₃+a₂b₂+a₃b₁)+...

+(a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_nb₁)+….

Shunday qilib, absolyut yaqinlashuvchi qatorlar chekli yig`indilarning barcha asosiy xossalariga ega. Shartli yaqinlashuvchi qatorlar esa bu xossalarning ba`zi birlariga ega emas.



Natural sonlar to`plami va biror X to`plamda (X )aniqlangan F funksiyalar to`plami berilgan bo`lsin. Har bir natural n songa F to`plamdagi bitta funksiyani mos qo`yish n u_n(x) natijasida hosil bo`lgan

u₁(x), u₂(x), ….., u_n(x),…..

(1)

ketma-ketlik funksional ketma-ketlik deyiladi va {u_n(x)} kabi belgilanadi.

u_n(x) funksiya (1) funksional ketma-ketlikning umumiy hadi deyiladi. Faraz

qilaylik, X to`plamda (X ) biror

u₁(x), u₂(x), ….., u_n(x),……

funksional ketma-ketlik berilgan bo`lsin. X to`plamda x₀ nuqtani olib, berilgan funksional ketma-ketlikning har bir hadining shu nuqtadagi qiymatlarini qaraylik. Ular

u₁(x₀), u₂(x₀),…., u_n(x₀),……

(2)

sonlar ketma-ketligini tashkil etadi.