10-amaliy mashg`ulot. Musbat hadli sonli qatorlar yaqinlashishining yetarli shartlari: dalamber alomati, koshining radikal va integral alomatlari

10-AMALIY MASHG`ULOT. MUSBAT HADLI SONLI QATORLAR YAQINLASHISHINING YETARLI SHARTLARI: DALAMBER ALOMATI, KOSHINING RADIKAL VA INTEGRAL ALOMATLARI.
Faraz qilaylik, u₁, u₂, ... , u_n, ... biror musbat sonlar bo’lsin. U vaqtda
u₁-u₂+u₃-u₄+... qator ishorasi almashinuvchi qator deyiladi.
Теоrema.Аgar u₁>u₂>u₃>... bo’lib, n ning har qanday natural qiymatida ham u_n>0 vа bo’lsa, u vaqtda u₁-u₂+u₃-u₄+... (1) ishorasi navbatlashuvchi qator yaqinlashuvchi bo’ladi, qatorning yig’indisi musbat son bo’ladi vа u qatorning birinchi hadidan katta bo’lmaydi.
Аna shu teorema Leybnist teoremasi deyiladi.
Dalamber alomati. Yuqorida ko‘rilgan taqqoslash alomatlaridan foydalanish uchun majoranta qatorni topishga to‘g‘ri keladi va bu masala har doim ham osonlik bilan yechilmaydi. Shu sababli ko‘p hollarda berilgan sonli qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini uning u_n (n=1,2,3, ∙∙∙) hadlari orqali aniqlashga imkon beradigan alomatlardan foydalanishga to‘g‘ri keladi. Bunday alomatlardan biri farang matematigi J.Dalamber (1717-1783y.) tomonidan topilgan.
Teorema(Dalambеr alomati): Berilgan musbat hadli sonli qator uchun
(3)
limit mavjud bo‘lsin. Bu holda d<1 bo‘lganda qator yaqinlashuvchi, d>1bo‘lganda esa uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Izohlar: 1. Agar d=1 bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin va shu sababli bu holda boshqa alomatlardan foydalanishga to‘g‘ri keladi.
2. Agar bo‘lsa , qator uzoqlashuvchi bo‘ladi .
Misol sifatida
1) , 2) , 3) , 4)
musbat hadli sonli qatorlarni Dalamber alomati yordamida tekshiramiz.
1) .
Demak, bu qator uchun 1/3= d<1 va shu sababli qator yaqinlashuvchidir.
2) .
Demak, bu qator uzoqlashuvchi ekan.
3) .
Bu yerda d=1 bo‘lgani uchun Dalamber alomati orqali bu qator yaqinlashuvi yoki uzoqlashuvi haqida xulosa chiqarib bo‘lmaydi. Ammo bu garmonik qator bo‘lgani uchun u uzoqlashuvchi bo‘ladi.
4) .
Bu yerda ham d=1 bo‘lgani uchun Dalamber alomati yordamida bu qator haqida xulosa chiqarib bo‘lmaydi. Ammo oldin (§1, (3) misolga qarang) bu qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S=1 ekanligi ko‘rsatilgan edi.