Sherimmetova xurshidaning matematik analiz fanidan ixtiyoriy hadli qatorlar va ular

Tekis yaqinlashuvchi funksional ketma-ketlik

Aytaylik, {u_n(x)} funksional ketma-ketlik D to`plamda biror f(x) funksiyaga yaqinlashsin. Ya`ni, D to`plamdan olingan ixtiyoriy x<sub>0</sub> son uchun {u<sub>n</sub>(x<sub>0</sub>)} sonli ketma-ketlik f(x<sub>0</sub>) ga yaqinlashsin. Yaqinlashuvchi sonli ketma-ketlikning ta`rifiga ko`ra ixtiyoriy >0 son uchun shunday n<sub>0</sub> natural son topilib, barcha n>n<sub>0</sub> larda |u<sub>n</sub>(x<sub>0</sub>`)–f(x₀`)|< tengsizlik bajariladi. Bu yerda n<sub>0</sub> son {u<sub>n</sub>(x<sub>0</sub>)} ketma-ketlik uchun faqat ga bog`liq.

Agarda x₀ o`rniga D ga tegishli bo`lgan boshqa x₀’ nuqtani olsak va {u_n(x₀’)} ketma-ketlik uchun n₀ ni avvalgidek qoldirsak, |u_n(x₀’)–f(x₀’)|< tengsizlik bajarilishi ham, bajarilmasligi ham mumkin.

(Albatta, bu tengsizlik bajariladigan boshqa n₀’ topiladi).

Demak, biror D to`plamda yaqinlashuvchi funksional ketma-ketliklarni ikki sinfga ajratib o`rganish mumkin ekan.

1-ta’rif. Agar ixtiyoriy >0 son olinganda ham, faqat ga bog`liq n<sub>0</sub> natural son topilib, ixtiyoriy x>D va barcha n>n<sub>0</sub> larda |u<sub>n</sub>(x)–f(x)|<0 tengsizlik bajarilsa, {u<sub>n</sub>(x)} funksional ketma-ketlik D to`plamda f(x) funksiyaga tekis yaqinlashadi deyiladi.

A gar yaqinlashuvchi

{u_n(x)} funksional ketma-ketlik

D to`plamda tekis

yaqinlashmasa, u holda bu ketma-ketlik D to`plamda bo`ladi. Buni quyidagicha ta`riflash mumkin: shunday n musbat son topilib, barcha m natural sonlar uchun shunday n>m natural son

va shunday x_n=D topilib,

|u_n(x_n)-f(x)|<0 tengsizlik o`rinli

Bo`ladi.

3-rasm

Yuqoridagi tushunchalarga geometrik talqin beramiz.

Aytaylik, {u_n(x)} funksional ketma-ketlik biror D to`plamda f(x) funksiyaga tekis yaqinlashsin. U holda ixtiyoriy >0 son uchun shunday n<sub>0</sub> nomer ko`rsatish mumkinki, barcha n>n₀ va barcha x D uchun |u_n(x)f(x)|< tengsizlik, ya`ni f(x)- <u<sub>n</sub>(x)<f(x)+ tengsizliklar bajariladi. Geometrik nuqtai nazardan bu tengsizliklar y=u<sub>n</sub>(x) funksiyaning grafigi y=f(x)- , y=f(x)+ funksiya grafiklari bilan chegaralangan yo`lakda yotishini anglatadi.

Demak, {u_n(x)} funksional ketma-ketlik D to`plamda f(x) funksiyaga tekis yaqinlashsa, u holda yo`lakning eni qanchalik kichik bo`lmasin, biror n<sub>0</sub> nomerdan boshlab {u<sub>n</sub>(x)} ketma-ketlik hadlari grafiklari to`lig`icha shu yo`lakda yotadi (3-rasm).

Agarda {u_n(x)} funksional ketma-ketlik D to`plamda f(x) funksiyaga notekis yaqinlashsa, u holda shunday yo`lak mavjudki, har qanday n₀ nomer uchun n>n₀ bo`lgan u<sub>n</sub>(x) funksiya topilib, uning grafigi qisman bo`lsa ham yo`lakning tashqarisida yotadi.

Endi quyidagi belgilashni kiritamiz: d_n=sup |u_n(x)–f(x)|.