Samarqand davlat universiteti parabolik tipdagi tenglamali chegaraviy masalalarni sonli



Download 2,78 Mb.
Pdf ko'rish
bet17/28
Sana21.06.2022
Hajmi2,78 Mb.
#687947
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   28
Bog'liq
AbdirashidovA.ParaboliktipdagitenglamalichegaraviymasalalarnisonliyechishUK2018

 
3.8-rasm. 
2-masala.
 
Parabolik tipdagi tenglamaga misol tariqasida ushbu
u
t
 = Du
xx
,

> 0, 0 < 


l
diffuziya tenglamasini qaraylik. Bu tenglamani toʻrlar usuli bilan yechish uchun 
toʻrtnuqtali oshkor sxemadan foydalansak (3.6,
a
-rasm), quyidagi chekli ayirmali 
tenglamaga kelamiz [3]: 


j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
u
u
u
u
h
D
u
,
,
1
,
,
1
2
1
,
2








(3.18) 
Agar ushbu 

<
h
2
/
D
shart bajarilsagina bu oshkor ayirmali sxema ustivor boʻladi. 


45 
Bu masalani Mathcad matematik paketi yordamida sonli yechamiz (dasturda 
chekli ayirmali formuladagi qavs oldidagi ifoda 
a
va 
l


deb belgilash olingan, 
boshlangʻich shart 
u
(
x
,0) = sin(
x
), chegaraviy shartlar esa nolga teng deb 
hisoblangan, ya’ni 
u
(0,
t
)=
u
(

,
t
)=0) [4]: 
a:=0.02 n:=30 m:=50 
i:=0..n-1 j:=1..m-1 





 

m
j
u
j

sin
:
,
0
0
:
0
,
0

u
0
:
,
0

m
u


1
,
,
1
,
,
,
1
2
a
:









j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
u
u
u
u
u
Natijalarni yechim funksiyasining toʻr grafigi va sath chiziqlari (izoliniyalari) 
shaklida ifodalaylik (3.9-rasm).
3.9-rasm. Har xil vaqt momentlarida diffuziya jarayonining tarqalishi holati. 
Oshkor sxema hamma vaqt ham yetarli yaqinlashishni bermaydi. Bunday kam-
chilikdan qutilish uchun oshkormas sxemadan foydalanish maqsadga muvofiq. Bun-
day oshkormas sxema deb atalishining sababi tadqiqot funksiyasining izlanayotgan 
qiymatalrini tenglamada vaqtning keyingi qatlamida topishda vaqtning oldingi 
qatlaidagi qiyamtlari orqali oshkor ifodalab boʻlmasligida. 
3-masala.
Oshkormas sxemadan (3.6,
b
-rasm) foydalangan holda 1-masaladagi 
tenglamaning chekli ayirmali approksimatsiyasini quyidagicha yozamiz: 


1
,
1
1
,
1
,
1
2
,
1
,
2










j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
u
u
u
h
c
u
u

Bunda birinchi indeks fazoviy koordinataga, ikkinchisi esa vaqt koordinatasiga 
mos keladi. Oshkor sxemadan farqli ravishda bu chekli ayirmali tenglamaning oʻng 
tarafida funksiyaning qiymatlari keying vaqt qadamiga tegishli. Ushbu 
µ = c

/
h
2
bel-
gilashni kiritib, chekli ayirmali tenglamani quyidagicha 


46 


j
i
j
i
j
i
j
i
u
u
u
u
,
1
,
1
1
,
1
1
,
)
2
1
(











yoki matritsa koʻrinishida quyidagicha 
yozib olamiz, bu yerda 
A
matritsa: 
va
u
(0,
t
) = 
α
= 0,
u
(1,
t
) = 
β
= 0 – chegaraviy shartlar
u
(
x
,0) = sin(2

x
) – bosh-
langʻich shart. 
Endi Mathcad matematik paketida bu hisoblashlarni bajarib, berilgan chegaraviy 
masalani sonli yechamiz: 
n:=20 i:=0..n j:=0..n k:=0..n-1 m:=1..n-1 

:=0

:=0

:=3
n
i
x
i

:


i
i
x
u




2
sin
:
0
,


:
,
0
j
u


:
,
j
n
u




2
1
:
,
i
i
A




:
1
,
m
m
A




:
,
1
m
m
A
0
:

i






:
0
0
:

i






:
0














j
j
u
A
u
1
1
:
Yechim funksiyasining toʻr grafigi va sath chiziqlari 3.10-rasmda tasvirlangan. 
3.10-rasm.Chegaraviy masalaning osh-
kormas sxema boʻyicha sonli yechimi 
grafiklari. 


47 
4-masala.
Quyidagi yana bir chegaraviy masalani xuddi shunday oshkormas 
sxemali toʻrlar usuli bilan sonli yechamiz: 
u
t

u
xx

u
x
+
u
,
t
>0, 0 < 
x
< 2

;
u
(0,
t
)=
u
(2

,
t
)=0, 
t
>0;
u
(
x
,0) = sin(
x
), 0 < 
x
< 2


Bu chegaraviy masalani sonli yechishning Mathcad matematik paketidagi 
dasturi va uning sonli natijalari grafiklari (3.11-rasm): 
n:=100 i:=0..n j:=0..n m:=1..n-1 a:=1 
b:=1 c:=1 h:=0.5

:=0.25

h

h
h








 


2
b
a
:
1
2
a
2
1
:
2
h
c









h
h








 


2
b
a
:
3

:=0

:=0
n
i
x
i




2
)
sin(
:
0
,
i
i
x
u



:
,
0
j
u


:
,
j
n
u
2
:
,


i
i
A
1
:
1
,



m
m
A
3
:
,
1



m
m
A
0
:

i






1
:
0
0
:

i






3
:
0














j
j
u
A
u
1
1
:
u
(
x
,
t
)
3.11-rasm.Chegaraviy masalaning oshkormas sxema boʻyicha sonli yechimi grafiklari. 
3.3. Parabolik tipdagi tenglamalarni MATLAB yordamida sonli yechish. 
 
Masalaning qo‘yilishi.
 
Oshkormas ayirmali sxemadan foydalanib, issiqlik 
o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun quyidagi boshlang‘ich-chegaraviy masalani sonli 
yeching: 




























;
0
),
(
)
,
(
)
,
(
),
(
)
,
(
)
,
(
.
);
(
;
),
,
(
2
2
2
1
1
1
0
0
2
2
T
t
t
x
t
b
u
d
t
b
u
c
t
x
t
a
u
d
t
a
u
c
b
x
a
x
u
u
b
x
a
t
x
f
x
u
t
u
t




48 
Masalani yechish algoritmi.
Ayirmali sxema to‘rining tugunlari to‘plamini 
quyidagicha kiritamiz: 



































.
,
,...,
0
,
;
,
,...,
0
,
;
,
S
T
t
S
s
st
t
N
a
b
h
N
n
nh
a
x
D
t
x
n
h
s
n
h
h









D
to‘plamda 
y

(
x
,
t
) to‘r funksiyasi kiritiladi. Uning qiymatlari izlanayotgan 
u
(
x
,
t
) funksiyaning shu tugunlardagi 
y

(
x
,
t
) =
s
n
y
qiymatini, 
)
,
(
s
n
s
n
t
x
f


esa 
f
(
x
,
t

funksiyaning shu tugunlardagi qiymatini approksimatsiyalaydi. U holda differensial 
tenglama ushbu 
1
,...,
0
;
1
,...,
1
,
2
2
1
1
1
1
1
1















S
s
N
n
h
y
y
y
y
y
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n


chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi bilan almashtiriladi. 
Boshlang‘ich shartlar 
u
(
x
,
t
) funksiya uchun to‘r funksiyalari bilan
N
n
x
u
y
n
n
,...,
0
),
(
0
0


kabi chegaraviy shartlar esa [
a
,
b
] kesmaning oxirlarida ushbu 
S
s
y
y
y
y
s
s
N
s
s
N
s
s
s
s
,...,
0
;
;
2
1
2
1
1
1
0










tenglamalar sistemasi bilan almashtiri-
ladi. Bu yerdan 
.
,...,
0
;
;
2
1
2
1
1
1
0
S
s
y
y
y
y
s
s
N
s
s
N
s
s
s
s










koeffisiyentlarning nimaga 
tengligi topiladi. Boshlang‘ich-chegaraviy masalaning chegaraviy shartlaridan ushbu 
S
s
t
h
y
y
d
y
c
t
h
y
y
d
y
c
s
s
N
s
N
s
N
s
s
s
s
,...,
0
);
(
);
(
2
1
2
2
1
0
1
1
0
1










chekli ayirmali tengliklar kelib chiqadi. 
Agar 
h
qadamni 
0
,
0
2
2
1
1




d
h
c
d
h
c
munosabatlar o‘rinli bo‘ladigan qilib tan-
lasak, u holda quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz: 
S
s
t
d
h
c
h
d
h
c
d
t
d
h
c
h
d
h
c
d
s
s
s
s
s
s
,...,
0
);
(
,
);
(
,
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1















Shunday qilib, dastlabki masalani approksimatsiyalovchi quyidagi ayirmali 
sxemaga ega bo‘lamiz: 




























S
s
y
y
y
y
N
n
x
u
y
S
s
N
n
h
y
y
y
y
y
s
s
N
s
s
N
s
s
s
s
n
n
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n
,...,
0
;
;
;
,...,
0
),
(
,
1
,...,
0
;
1
,...,
1
,
2
2
1
2
1
1
1
0
0
0
2
1
1
1
1
1
1






Bu yerdan har bir 
s
=0,…,
S
-1 uchun ketma-ket yechish lozim bo‘lgan ushbu 
















;
;
1
,...,
1
,
2
1
2
1
1
1
0
1
1




N
N
n
n
n
n
n
n
n
y
y
y
y
N
n
F
y
B
y
C
y
A
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga kelamiz, bu yerda 
1
,...,
0
,
,...,
0
,
1
,
1
2
,
1
2
2









N
n
S
s
y
F
h
C
h
B
A
s
n
s
n
n
n
n
n



Ushbu sxema progonka usuli bilan yechiladi, ya’ni 
1
1
1





n
n
n
n
y
y



n
=0,…,
N
-
1, bu yerda 
α

β
– progonka koeffisiyentlari. Chap chegaraviy shartdan 
1
0
1
0
,









49 
qolgan hadlar ushbu 
,
1
n
n
n
n
n
A
C
B





,
1
n
n
n
n
n
n
n
A
C
F
A







n
=0,…,
N
-1 rekurrent formu-
lalardan topiladi. Endi 
2
2
2
1





N
N
N
y



hisob va teskari progonka ushbu 
0
,...,
1
,
1
1
1







N
n
y
y
n
n
n
n


formulada bajariladi, to‘r funksiyaning qiymatlari 
topiladi. 
Misol.
Quyidagi chegaraviy masalani sonli yeching. 





















.
0
;
0
;
0
,
0
;
1
0
;
)
2
sin(
0
1
0
2
2
t
x
x
u
u
u
t
x
t
x
x
u
t
u

Tugunlar to‘plami quyidagicha:































.
100
,
10
,
100
10
,
100
,...,
0
,
.
100
,
1
,
0
,
100
1
,
100
,...,
0
,
S
T
t
s
st
t
N
b
a
h
n
nh
x
n
h




Izlanayotgan 
)
,
(
t
x
u
funksiyaning to‘rli approksimatsiyasi 
s
n
s
n
h
y
t
x
y

)
,
(


t
x
t
x
f


)
2
sin(
)
,
(

funksiyaniki esa 
t
s
nh
s
n



)
2
sin(


. Berilgan differensial tenglaman-
ing 
oshkormas 
sxema 
bo‘yicha 
ayirmali 
approksimatsiyasi 
99
,...,
0
;
99
,...,
1
,
2
2
1
1
1
1
1
1













s
n
h
y
y
y
y
y
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n


kabi. 
Boshlang‘ich 
shart 
100
,...,
0
,
0
0


n
y
n
. Chegaraviy shartlar 
;
;
2
99
2
100
1
1
1
0
s
s
s
s
s
s
s
s
y
y
y
y








.
100
,...,
0

s
Masalaning 
berilishiga 
ko‘ra 
0
,
1
,
0
,
1
2
2
1
1




d
c
d
c
ekanligidan 
;
0
)
(
;
0
)
(
2
1


s
s
t
t


S
s
s
s
s
s
,...,
0
;
0
,
0
;
0
,
0
2
2
1
1









. Chegaraviy shartlar 
.
100
,...,
0
;
0
;
0
100
0



s
y
y
s
s
Berilgan masalani approksimatsiyalovchi ayirmali sxema 
bo‘yicha masala: 






















.
100
,...,
0
;
0
,
0
;
100
,...,
0
,
0
;
99
,...,
0
;
99
,...,
1
,
2
100
0
0
2
1
1
1
1
1
1
s
y
y
n
y
s
n
h
y
y
y
y
y
s
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n
s
n


Shunday qilib, progonka usuli bilan 100 ta ushbu 












;
0
;
0
;
99
,...,
1
,
0
1
1
N
n
n
n
n
n
n
n
y
y
n
F
y
B
y
C
y
A
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish zarur, bu yerda
99
,...,
0
,
100
,...,
0
,
1
,
1
2
,
1
2
2








n
s
y
F
h
C
h
B
A
s
n
s
n
n
n
n
n




Progonka 
koeffitsiyentlari: 
1
0
1
0
,







,
1
n
n
n
n
n
A
C
B





,
1
n
n
n
n
n
n
n
A
C
F
A







 
n
=0,…,99. Teskari progonka: 
;
0
100

y
.
0
,...,
99
,
1
1
1






n
y
y
n
n
n
n




50 
Hisob natijalari.
Yuqorida keltirilgan hisob shabloni asosida MATLAB dasturi 
yaratildi, uning natijalari 3.16-rasmda tasvirlangan. 
N = 100; S = 100; T = 10;
h = (1/N); tau = (T/S);
Yrange = 0:h:1; Xrange = 0:tau:T;
for n=1:N+1, for s=1:S+1, 
y(n,s)=0; end; end; 
for n=1:N+1, y(n,1)=0; end; 
A=1/(h.^2); B=1/(h.^2);
C=2/(h.^2) + 1/tau; a(1)=0; b(1)=0; 
F = (1/tau)*y(1,1) + 
sin(2*pi*h)*(1)*tau; 
a(1) = B/(C - a(1)*A); 
b(1)=(A*b(1) + F)/(C - a(1)*A); 
for s=2:S+1, for n=1:N,
F = y(n,s-1)/tau + sin(2*pi*n*h)*(s-
1)*tau ; 
a(n+1)=B/(C - a(n)*A); 
b(n+1)=(A*b(n) + F)/(C - a(n)*A); 
end; y(N+1,s) = 0;
for n=N:-1:1,
y(n,s)=a(n+1)*y(n+1,s)+b(n+1);
end; end; 
surf(Xrange,Yrange,y); colormap gray 
Xlabel('T'); Ylabel('X'); Zlabel('U'); 
3.16-rasm. MATLAB dasturi hisobi natijalari. 

Download 2,78 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   28




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish