|
32
3-bob. PARABOLIK TIPDAGI TENGLAMALARNI MATEMATIK
PAKETLAR YORDAMIDA SONLI YECHISH
Hisoblash matematikasini tor ma’noda keng doiradagi amaliy masalalarni
yechishning sonli usullar nazariyasi va algoritmlari deb tushunish mumkin. Ana shu
mazmunda hisoblash matematikasining ayirmali sxemalar nazariyasi boʻlimi oddiy
yoki xususiy hosilali differensial tenglamalarni chekli ayirmali tenglamalarga al-
mashtirish orqali taqribiy yechish usullarini oʻrganadi. Matematik-fizikaning
koʻpgina xususiy hosilali differensial tenglamalarini matematik paketlar (Maple,
Matlab, Mathcad va boshqa) bilan chekli ayirmalar usuli yordamida sonli yechish ju-
da oson va bundan oʻquv jarayonida va muhandislik amaliyotida samarali foyda-
lanish mumkin. Buni quyidagi misollar va ularning chekli ayirmalar usuli yordamida
sonli yechimlari tarzida tushuntirib oʻtamiz.
3.1. Parabolik tipdagi tenglamalarni Maple yordamida sonli yechish.
Quyidagi bir oʻlchovli parabolik tipdagi tenglamani qaraymiz:
).
,
(
t
x
f
cu
bu
au
u
x
xx
t
(3.1)
(3.1) ni chekli ayirmali tenglamaga oʻtkazish uchun quyidagi belgilashlarni kiri-
tamiz:
– vaqt
t
boʻyicha qadam;
h
– koordinata
x
boʻyicha qadam;
j
i
u
1
,
j
i
u
,
j
i
u
1
–
vaqtning
t=t
0
qiymatida
u
funksiyaning
x
koordinata (
x
[0;
l
]) boʻyicha mos
x
i
-1
,
x
i
,
x
i
+1
tugun nuqtalaridagi qiymatlari;
1
1
j
i
u
,
1
j
i
u
,
1
1
j
i
u
– vaqtning
t=t
0
+
qiymatida
u
funksiyaning
x
koordinata boʻyicha mos
x
i
-1
,
x
i
,
x
i
+1
tugun nuqtalaridagi qiymatlari.
Bulardan
j
i
u
(
i
=0,1,…,
n
) qiymatlarni bilgan holda
1
j
i
u
(
i
=0,1,…,
n
) qiymatlarni
hisoblash zarur (
j
=0,1,…,
m
).
(3.1) uchun oshkor sxema quyidagicha yoziladi:
)
2
(
1
1
2
1
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
u
u
u
h
a
u
u
j
i
j
i
j
i
j
i
f
u
c
u
u
h
b
)
(
2
1
1
, (3.2)
bu yerda
j
i
u
1
,
j
i
u
,
j
i
u
1
qiymatlar oldingi qadamlarda hisoblangan;
)
,
(
j
i
j
i
t
x
f
f
;
x
i
= ih
;
t
j
= j
(
i
=0,1,…,
n
;
j
=0,1,…,
m
).
(3.1) uchun oshkormas sxema quyidagicha yoziladi:
1
2
1
1
2
2
1
2
j
i
j
i
u
c
h
a
u
h
a
h
b
j
i
j
i
j
i
f
u
u
h
a
h
b
1
2
1
1
2
. (3.3)
Bu uch diagonalli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi.
Bir oʻlchovli holda bu sxemadan foydalanish maqsadga muvofiq, ma’lumki (3.2)
oshkor sxema
< h
2
/2 da, oshkormas sxema esa
ning barcha qiymatlarida ustivor.
33
Ammo koʻp olchovli tenglamalarni yechishda oshkormas sxemadan foydalanish
ba’zi noqulayliklarni tugʻdiradi. Shuning uchun koʻp oʻlchovli tenglamalarni sonli
usullar bilan yechish uchun quyidagi sxemadan foydalanish maqsadga muvofiq:
1
2
1
2
)
(
1
j
i
j
i
j
i
u
c
h
a
u
u
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
f
u
u
h
b
u
u
h
a
)
(
2
)
(
1
1
1
1
2
. (3.4)
Bu yerda
0 da limitga oʻtib, quyidagi oddiy differensial tenglamani hosil qilamiz:
1
2
1
2
j
i
j
i
u
c
h
a
dt
du
j
i
j
i
j
i
f
u
h
b
h
a
u
h
b
h
a
1
2
1
2
2
2
, (3.5)
Bu tenglamaning yechimi quyidagicha:
2
2
1
2
)
1
(
ch
a
q
h
qu
u
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
f
u
h
b
h
a
u
h
b
h
a
1
2
1
2
2
2
, (3.6)
bu yerda
1
)
)
/
2
(
exp(
2
c
h
a
q
.
Bir tomondan (3.6) sxema oshkor, ikkinhi tomondan esa u absolyut ustivor.
Xususan
a
=1,
b=c=f
=0 desak, (3.6) tenglama soddalashadi:
)
(
2
1
1
1
1
j
i
j
i
j
i
j
i
u
u
q
u
q
u
, (3.7)
bu yerda
1
)
/
2
exp(
2
h
q
.
Furye komponentalaridan foydalanib, (3.7) ayirmali oshkor sxemaning ustivor-
ligini fon-Neyman usuli yordamida tahlil qilsak,
)
exp(
i
j
j
i
ikx
u
u
koʻrinishdagi
furye-modalarga koʻra
j
j
u
u
1
oʻtish koʻrsatgichini kiritib, (3.7) dan ushbu
1
)
cos(
)
1
(
kh
q
q
munosabatni hosil qilamiz. Bu shuni bildiradiki,
1
j
i
u
qiymatlar geometrik progressiya tezligi bilan kamayib boradi.
Agar (3.7) da Teylor formulasidan foydalanib, ushbu
2
2
/
2
1
)
/
2
exp(
h
h
q
yoyilmadan foydalansak, u holda biz bilgan sodda oshkor sxemali ayirmali
tenglamaga, ya’ni (3.2) da
a
= 1,
b = c = f
= 0 boʻlgan holga kelamiz.
Shunday qilib, quyidagi chegaraviy masalani (3.6) oshkor sxemali chekli
ayirmali tenglama bilan sonli yechish mumkin:
),
,
(
t
x
f
cu
bu
au
u
x
xx
t
0
,
0
t
l
x
,
0
),
(
)
,
0
(
)
,
0
(
1
1
1
t
t
t
u
t
u
x
,
0
),
(
)
,
(
)
,
(
2
2
2
t
t
t
l
u
t
l
u
x
,
l
x
x
x
u
0
),
(
)
0
,
(
. (3.8)
Ushbu chegaraviy masalaning chegaraviy shartlari oshkormas sxema bilan che-
kli ayirmali tenglamalarga oʻtkazildi.
34
1-masala
. (3.8) chegaraviy masalani
a
=
α
1
=
α
2
=
l
= 1;
b = c = f
=
β
1
=
β
2
=
µ
1
=
µ
2
= 0;
= sin(2
x
) berilganlarda (3.6) oshkor sxemali chekli ayirmalar yordamida
sonli yeching.
Yechish
. Ushbu chegaraviy masalani sonli yechish uchun
h
=
l
/20;
=
h
2
/4
qadamlar tanlanib, Maple matematik paketida dastur tuzildi va hisoblash natijalaridan
izlanayotgan
u
(
x
,
t
) funksiyaning
x
[0;1],
t
[0;0,1] kesmalardagi grafigi ap-
proksimatsiyalash orqali silliqlanib chizildi (3.1-rasm).
2-masala
. (3.8) chegaraviy masalani
a
=
α
1
=
α
2
= 1;
b = c =
=
β
1
=
β
2
=
µ
1
=
µ
2
= 0;
l
= 1;
f
= sin(
x
) berilganlarda (3.6) oshkor sxemali chekli ayirmalar
yordamida sonli yeching.
Yechish
. Bu chegaraviy masala ham xuddi yuqoridagi masala kabi sonli
yechildi, hisob natijalarining
x
[0;1],
t
[0;0,03] kesmalardagi grafigi 3.2-rasmda
tasvirlangan.
u
(
x
,
t
)
3.1-rasm.
u
(
x
,
t
)
3.2-rasm.
3-masala
. (3.8) chegaraviy masalani
a
= 1;
α
1
=
α
2
=
b = c = f
= 0;
µ
1
=
µ
2
=
exp(–
x
);
β
1
= –
β
2
= 1;
l
=
;
= sin
x
berilganlarda (3.6) oshkor ayirmali sxema
yordamida sonli yeching.
Yechish
. Bu chegaraviy masala ham xuddi yuqoridagi masala kabi sonli
yechildi, hisob natijalarining
x
[0;
],
t
[0;3] kesmalardagi grafigi 3.3-rasmda tas-
virlangan.
4-masala
. (3.8) chegaraviy masalani
a
=
b=
–
c = α
1
= –
α
2
=
β
1
= –
β
2
= 1;
f
= 0;
µ
1
=
µ
2
= exp(–2
t
)(cos
t
+sin
t
);
l
=
;
=sin
x
berilganlarda (3.6) oshkor sxemali chekli
ayirmalar yordamida sonli yeching.
Yechish
. Bu chegaraviy masala ham xuddi yuqoridagi masala kabi sonli
yechildi, hisob natijalarining
x
[0;
],
t
[0;1] kesmalardagi grafigi 3.4-rasmda
tasvirlangan.
35
u
(
x
,
t
)
3.3-rasm. Chegaraviy masalayechimi.
u
(
x
,
t
)
3.4-rasm. Chegaraviy masalayechimi.
5-masala
. Xuddi yuqoridagi 1-4-masalalarga oʻxshash bir qator amaliy
masalalarni Maple matematik paketning pdsolve funksiyasidan foydalanib ham sonli
yechish mumkin, masalan, quyidagi chegaraviy masalani sonli yechish talab qilinsin:
,
3
u
u
u
u
xx
t
0
,
1
0
t
x
,
0
,
0
)
,
1
(
)
,
0
(
t
t
u
t
u
,
1
0
,
1
)
0
,
(
x
x
u
.
Yechish
. Bu chegaraviy masalani sonli yechishning Maple dasturi va uning
x
[0;
1],
t
[0;2] kesmalardagi natijalari grafiklarda (vaqt kesimlarida, fazoviy va
animatsion) quyida tasvirlangan:
Do'stlaringiz bilan baham: | 
