Samarqand davlat universiteti parabolik tipdagi tenglamali chegaraviy masalalarni sonli

 
3.4. Parabolik tipdagi tenglamali ikki o'lchovli aralash chegaraviy masalani 
taqribiy yechish. 
Toʻgʻri toʻrtburchakli plastinkada issiqlik uzatish jarayonini sonly tahlil qilamiz 
(3.17-rasm). Plastinka materiali misdan boʻlib, uning oʻlchamlari 
L
= 
H
= 0,5 m. 
Plastinkaning gorizontal chegaralarida adiabatik jarayon kuzatiladi, uning vertikal 
chegaralarida esa temperatura oʻzgarmas: 
T
h
= 80
0
C va 
T
c
= 30
0
C. Tadqiqot obyektin-
ing ichki sohasida boshlangʻich temperatura 
T
0
= 5 
0
C. 
Masalaning matematik qoʻyilishi quyidagicha: 

---

51 
(3.19) 
Boshlangʻich va chegaraviy shartlar quyidagicha ifodalanadi: 
(3.20) 
(3.20) differensial tenglamani chekli ayirmali tenglamaga oʻtkazish uchun vaqt-
fazo boʻyicha quyidagicha koordinatali toʻr kiritamiz (3.18-rasm): 
bu yerda 
h
x
, 
h
y
– mos 
x
, 
y
koordinatalar boʻyicha toʻr qadamlari; 

- vaqt boʻicha 
qadam; hisob sohasini toʻlasincha toʻr bilan toʻldiramiz, ya’ni 
Izlanayotgan funksiya uchun
belgilash kiritamiz. 
3.17-rasm.Tadqiqot obyekti. 
3.18-rasm.Hisob sohasining ayirmali toʻri. 
Dastlabki (3.19) differensial tenglamani diskretlashtirishni A.A.Samarskiyning 
bir oʻlchovli lokal sxemasi asosida amalga oshiramiz, bunda bu sxema absolyit usti-
vor va yigʻindi approksimatsiya xossasiga ega. Bu sxemaning mazmuni shundan 
iboratki, vaqt boʻyicha qadam ikki bosqichda amalga oshiriladi: vaqtning oraliq 
qadamida (3.19) tenglamani faqat 
x
oʻqi yoʻnalishida diskretlashtiramiz va bir 

---

52 
oʻlchovli tenglamaga kelamiz; undan keyin (3.19) tenglamani yana diskretlashtira-
miz, endi buni faqat 
y
oʻqi yoʻnalhida bajaramiz va yana bir oʻlchovli tenglamani 
hosil qilamiz, keyin esa vaqtning toʻla qadamida temperatura maydonini aniqlaymiz. 
Shunday qilib, 
(3.21) 
(3.22) 
Bu oxirgi ikki ayirmali tenglama (3.21)-(3.22) standart uchdiagonalli holatga keltiri-
ladi va progonka usuli bilan yechiladi. Avvalo butun soha boʻylab (3.21) tenglama 
yechiladi, keyin esa uning topilgan yechimlari asosida (3.22) tenglama yechiladi. 
(3.21) tenglamani progonka usuli bilan yechishni qarab chiqaylik. Buning uchun 
bu tenglamani quyidagi koʻrinishga keltiramiz: 
Bu tenglamaning koeffisiyentlari 
A
i
, 
B
i
, 
C
i
lar quyidagicha topiladi: 
Ushbu 
progonka koeffisiyentlarini aniqlash uchun avvalo chap chegaraviy shardan α
1
va β
1
larni aniqlaymiz. Bular asosida esa qolgan koeffisiyentlar topiladi: 
Undan keyin 
2
1
,

n
j
N
T
-oʻng chegaraviy shartdan topiladi; vaqtning yarimqatlamida 
2
1
,

n
j
i
T
- 
temperatura maydoni topiladi. Keyin (3.22) tenglamani yechishga oʻtiladi. Bu 
tenglamani yechish ham xuddi (3.21) ni yechish kabi. 
Masalani sonli yechishning algoritmi va dasturi quyida keltirilgan.