Russian Mathematics Education

5

Algebra and Elementary Calculus: Functions

in Grades 10–11

The course “Algebra and Elementary Calculus” for grades 10–11

roughly corresponds, for example, to the American courses “Alge-

bra II,” “Precalculus,” and “Calculus,” but with a number of dif-

ferences. Below, we will systematically discuss the study of functions

without the use of differential calculus, following the textbooks of

Alimov et al.,

1

then touch on teaching the elements of calculus, and in

conclusion talk about certain textbooks that have appeared relatively

recently.

As has already been said, much of what used to be studied in grade

9, and then in grade 10 on a higher level, is now studied only in

grade 10. The textbook of Alimov et al. (2001) contains chapters

on “Real Numbers,” “Power Functions,” “Exponential Functions,”

“Logarithmic Functions,” “Trigonometric Formulas,” “Trigonomet-

ric Equations,” “Trigonometric Functions,” and three more chapters,

devoted to calculus. Thus, the theme of functions may be said to be

the central theme of the course for grades 10–11. At the same time, for

example, of the five sections in the chapter on “Power Functions,” three

are devoted to equations and inequalities — “Equivalent Equations

and Inequalities,” “Irrational Equations,” and “Irrational Inequalities”

(for optional study). Only two sections are devoted to functions

themselves — “Power Functions and Their Graphs” and “Functions

That Are Inverses of Each Other.”

Almost without commentary, the textbook lists the properties

of various power functions (domain, range, evenness and oddness,

increasing and decreasing), providing a “representative” graph for

each case (in discussing this topic in class, the teacher will most likely

begin precisely with a concrete graph, indicating several points and

then drawing a conclusion about the behavior of the function). The

1

In the latest editions of this textbook, its lead author has changed: the head of the

team of contributors is now Yu. M. Kolyagin. The textbooks of Kolyagin et al. (2007a,

2007b) are very similar to that of Alimov et al. (2001) in terms of their material and

presentation; therefore, here and below we will confine our discussion to the latter.

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

Elements of Analysis in Russian Schools

209

problems solved in studying this topic revolve around the properties

of various power functions, such as:

• Schematically depict the graph of the following function and

indicate its domain and range: y = x

6

, y = x

1

2

, y = x

−3

;

• Using the properties of the power function, compare 0.2

0.3

with 1;

• Find the intervals in which the graph of the function y = x

1

−π

lies above (below) the graph of the function y = x. (Alimov et al.,

2001, pp. 44–45)

Material pertaining to the power function is used to introduce

the concept of an inverse function. The main examples here are, of

course, the functions y = x

3

and y = x

2

, x ≥ 0. The presentation

is conducted in a sufficiently “scientific” manner: the concept of an

invertible function is explicitly introduced (in essence, injectivity), and

the theorem that monotonic functions are invertible is formulated

and proven. Also proven is the theorem that the graphs of a function

and its inverse are symmetric (it is another matter that the teacher will

by no means always present this proof in class, let alone ask the students

to reproduce it).

A proper exposition of the topic “Exponential Functions” requires

the concept of a power with an arbitrary real exponent. This in turn

forces the authors to introduce the concept of a limit (which, however,

is also used elsewhere for defining and finding the sum of an infinitely

decreasing geometric progression). All of this is done in the textbook’s

first chapter, “Real Numbers.” The concept of a limit is introduced

using examples of progressive approximations of irrational numbers;

in the process, students are acquainted with the necessary notation

(lim) and some terminology. The presentation is very concise and the

students are given practically no problems involving the independent

finding of limits, so there is little reason to expect that this concept will

be grasped with any depth. In the same chapter, “Real Numbers,” the

authors of the textbook define a power with an irrational exponent a