Russian Mathematics Education

x

as

the limit of the sequence a

x

n

, where x

n

is the nth decimal approximation

of x. It is explicitly stated that the existence of this limit — and the fact

that for a power defined in this way, all known properties of powers

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

210

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

hold — “is demonstrated in the course in higher mathematics.” At the

same time, the textbook does contain a number of proofs of properties

of powers that rely on properties already formulated; for example, it

is proven that for a > 1 and x

1

< x

2

, the inequality a

x

1

< a

x

2

holds

(based on the fact that for a > 1 and positive t, the inequality a

t

> 1

holds).

The chapter on “Exponential Functions” then derives the properties

of exponential functions: the fact that their domain is the set of all real

numbers, that their range is the set of all positive numbers (in this

connection, the authors make use of another fact that “will be proven

in the course in higher mathematics”: the fact that the equation y = a

x

has a solution for any b > 0); and the fact that the function is increasing

over the entire set of real numbers for a > 1 and decreasing over this

set for 0 < a < 1. Graphs are constructed in connection with all of

these considerations.

Typical problems that are mandatory for all students include the

following:

• Schematically depict the graph of the function y = 0.4

x

;

• Find the coordinates of the points of intersection of the graphs

of the functions y = 2

x

and y = 8;

• Determine whether the function y = 0.7

−3x

is increasing or

decreasing. (Alimov et al., 2001, p. 74)

Among the difficult problems is, for example, the following:

• Find the greatest and least values of the function y = 2

|x|

on the

segment

[−1, 1]. (Alimov et al., 2001, p. 75)

Subsequently, in the exposition of the topics “Exponential Equa-

tions” and “Exponential Inequalities,” the properties of powers and

exponential functions are used extensively. Thus, the solution of the

equation a

x

= a

b

makes use of a property of a power that is effectively

equivalent to the injectivity (invertibility) of the function y = a

x

; the

solution of inequalities such as a

x

> a

b

or a

x

< a

b

relies on the fact

that the exponential function is increasing or decreasing.

The chapter on “Logarithmic Functions” is structured, in a typical

manner for this textbook, in accordance with the same schema. First,

students are introduced to the algebraic concept of the logarithm of a

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05