Russian Mathematics Education

y = ax

2

and grounded theoretically (this is done by completing the

perfect square out of the expression ax

2

+ bx + c, which makes it

possible to find the coordinates of the vertex of the parabola, and then

by examining translations along the coordinate axes). Subsequently,

however, in constructing graphs, the textbook usually confines itself

to using the formula for the x coordinate of the vertex x

0

= −

b

2a

,

although teachers usually require students to indicate several other key

points as well — first and foremost, the points where the graph and the

coordinate axes intersect.

While constructing the graph of y = x

2

, the textbook introduces the

terms “increasing” and “decreasing”: students are told that a function

is increasing when a greater value of y corresponds to a greater value

of x; but, again, statements about the concepts of increasing and

decreasing are made with reference to a graph and with the use of

examples.

Among the typical problems given to students in association with

this topic are not only problems that involve constructing graphs

of quadratic functions, but also problems that involve investigating

the properties of quadratic functions with the help of these graphs.

In particular, students are asked to find the least value of a given

function; to find the values of x for which the value of the function

is equal to a given number (for example, 3); to find the values of x for

which a function assumes positive (negative) values; to determine the

intervals where the given function increases (decreases); and to find

the coordinates of a vertex.

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

206

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

As in the case of the linear function, the concept of the quadratic

function is immediately applied to algebraic material. Thus, in the

section on “Quadratic Inequalities,” three methods for solving such

inequalities are described: by factoring the quadratic trinomial and

solving a system of inequalities; by using the graph of the quadratic

function; and by using the so-called interval method.

In the textbooks of Dorofeev, Suvorova et al. (2009b), quadratic

functions are studied in ninth grade. Here, again, there are more

geometric formulations, more attention to symmetry, translation, and

so on.

In the textbooks of Alimov et al., the general properties of functions

were originally systematically studied in ninth grade in connection with

the topic “Power Functions.” As has already been noted, over the past

10–15 years all kinds of possible abridgments have gradually crept into

the text here (connected first and foremost with an abridgment — or,

more precisely, termination — of the study of powers with rational

exponents). Nonetheless, today, teachers in ninth grade still usually

not only speak about functions of the form y =

k

x

, but also provide

certain general definitions (the domain of a function).

A typical lesson on the given topic could have (and even, in part,

still may have) the following form [Dobrova, Lungardt et al. (1986)

or later editions]:

At the beginning of the lesson, the class again goes over solving simple

linear inequalities. The teacher then examines the expressions

x

2

− 2x + 3,

1

x − 2

,

√

x

and calls the students’ attention to the fact that the last two of

these expressions are determined not for all values of x. After this,

a definition of the concept being studied is formulated.

The set of all values that the argument of a function can assume is

called the domain of the function.

Then, the following problems from the textbook are examined:

find the domain of the following functions: (1) y = 2x

2

+ 3x + 5;

(2) y(x) =

√

x − 1; (3) y(x) =

1

x+2

; (4) y(x) =

4



x+2

x−2

.

The solution to problem (4) is more difficult than the solutions

to the others (note that, according to the curriculum in use today,

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

Elements of Analysis in Russian Schools

207

fourth roots are not studied in the nine-year program) and offers an

opportunity once again to go over the topic of solving inequalities

by using the interval method, which is sufficiently difficult for many

students. The teacher may focus the students’ attention on the fact

that they are familiar with two “dangerous” operations, which are

the reasons for the bounds placed on a function’s domain: division

(it is impossible to divide by 0) and extraction of even roots (it is

impossible to extract an even root of a negative number). Then the

students solve problems that involve finding the domains of various

functions. As homework, the students may be given problems similar

to the ones solved in class, such as “Find the domains of the functions

y(x) =

2x

x

2

−2x−3

; y(x) =

√

3x

2

− 2x + 5”; and problems that involve

repeating what has been covered, such as “A function is defined by

the formula y(x) =

x+5

x−1

; find y(0), y(−2); find the value of x if

y(x) = −3, y(x) = 13.”

This lesson can be given in 10th grade as well, but we cite it

here because it is very representative of one of the possible directions

which the study of functions may take. Along with introducing

and developing a new theoretical concept, considerable attention

is devoted to going over topics that involve solving linear and

quadratic inequalities and developing the corresponding skills. The

algebraic element here probably outweighs the analytic element. As

we have seen, other textbooks attempt to make the course more

qualitative, geometric, and visual, and less technical and formula-

laden. A strong point of both sets of textbooks, in our view, lies in

their striving to underscore connections with other sections of the

course.

It was noted above that no rigorous proofs are given for most of

the assertions that are made concerning functions. Still, some attempt

is usually made to give examples or to provide some kind of plausible

argument in support of the assertions being made, and this is another

positive point [although the dynamic here is a complicated one: one

might recall that 40–50 years ago school textbooks for the eight-year

schools of the time contained, for example, a practically precise proof

of the fact that the graph of the function y = kx is a straight line

(Barsukov, 1966)].

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

208

Russian Mathematics Education: Programs and Practices