Russian Mathematics Education

6.2

The Textbooks of Alimov et al.

and Kolyagin et al.

The textbook of Alimov et al. (2001),

2

which has been mentioned

above, covers almost the same body of material in elementary calculus

as the textbook of Kolmogorov et al. Therefore, we will focus mainly

on the differences between their approaches.

The first chapter, devoted to calculus, is called “Derivatives and

Their Geometric Meaning.” Derivatives are introduced immediately

following the examination of a problem about instantaneous velocity.

The derivative is introduced as the limit of a difference quotient, with

the use of the word “limit” and the definition f



(x) = lim

h→0

f(x+h)−f(x)

h

.

2

As has already been noted, the textbook of Kolyagin et al. (2007a, 2007b) is extremely

similar to the textbook of Alimov et al. (2001), and thus we will confine our discussion

to the latter.

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

220

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

The formulas C



= 0, (kx + l)



= k,

x

2





= 2x, and

x

3





= 3x

2

are

proven from the definition, and it is taken for granted that, for example,

h → 0 implies that h

2

→ 0, 3xh → 0, and 3x

2

+ 3xh + h

2

→ 3x

2

(p. 227).

Somewhat later, the authors announce that limits are not a part of

the secondary school curriculum, and for this reason (our italics) certain

proofs are not given or are not carried out rigorously (p. 228). The

authors then go on to define limits anyway, in the language of “ε − δ,”

and even offer a definition of continuity, explaining that continuity

does not imply differentiability.

The textbook then examines several more examples of differentia-

tion, after which it presents (without proof or discussion) the formula

x

p





= px

p−1

for any real exponent. To some extent, by anal-

ogy with formulas that have already been formulated, the formula

kx + b



p





= pk

kx + b



p−1

is given. The formulas for the derivative

of a sum and for factoring out a constant are proven, but their proofs

are labeled as optional (supplementary, more difficult material). The

formulas for the derivative of a product and a quotient are not proven

at all, although tested on an example. The derivative of the composite

function is also presented without a proof.

The number e has already been introduced earlier, simply as a certain

remarkable number. Now, without any discussion, it is announced

that in courses in higher mathematics (i.e. in college), it is proven

that (e

x

)



= e

x

, after which the derivative of the exponential function

is defined in the general case. Similarly, the formula (log x)



=

1

x

is

presented in finished form, after which the derivative of the logarithmic

function with an arbitrary base is defined. For the derivative of a sine,

a sketch of a proof is given and mention is made that it is possible to

prove the equality lim

t→0

sin t

t

= 1. The other trigonometric functions are

presented simply as ready-made formulas.

It may be said that the order in which investigation of functions

or “Antiderivatives and Integrals” are studied is practically the same

as in the textbook of Kolmogorov et al. The difference, however, is

that all of the necessary formulas, such as Lagrange’s formula, are

presented with an explicit clarification that their proofs appear in the

course in higher mathematics, which — even if a geometric illustration

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

Elements of Analysis in Russian Schools

221

is later given for an assertion that is made (as is the case with Lagrange’s

formula) — relegates it to the category of the optional. Note, however,

that this textbook does present one more algorithm: an algorithm for

testing functions for convexity (admittedly, in a section not required

for general study).

In general, it may be argued that this textbook’s strong point is

its development of students’ technical abilities, including the ability

to differentiate, construct various graphs, and so on. In essence, the

authors explicitly state that defining the difficult concepts of calculus is

not their concern, and that their concern is to teach students to solve

certain classes of problems that involve these concepts.