Russian Mathematics Education

6.3

M. I. Bashmakov’s Textbook

In contrast to virtually all other textbooks, the textbook of M. I.

Bashmakov (1991 and other editions) has only one author: the well-

known mathematician and methodologist M. I. Bashmakov. The first

version of the textbook was intended for use in vocational schools,

which in Soviet times also offered a complete secondary school

course. It may be supposed that this partly explains the author’s

attention to physical and technological applications of mathematics.

As the author emphasizes: “This textbook will teach you to use such

mathematical instruments as functions and their graphs, derivatives

and integrals, equations and inequalities”; “mathematical arguments

and proofs...play the role of instructions and descriptions” (p. 3).

The structure of the textbook is of interest. It is divided into six

chapters. “Each chapter opens with an introductory conversation that

leads up to the appearance of new basic concepts. At the end of

each chapter is a concluding conversation, which includes information

that is not required for study, but which may help the inquisitive

person” (p. 4).

About the derivative, the textbook, following Newton, states that

“the derivative is velocity” (p. 65). The author discusses how the

concept of an (instantaneous) velocity is logically completely unobvious

and requires the passage to the limit. In this way, the equality

v(t) = lim

t

1

→t

s(t

1

)−s(t)

t

1

−t

is introduced (without a formalization of the

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

222

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

concept of the limit). Then the derivative is introduced, following

Leibniz, as the slope of a tangent; from these two examples, a new

operation is derived — differentiation — and the ordinary definition

of the derivative is given.

In investigating a function, the criteria for monotonicity and for the

presence of extrema are presented using a mechanical interpretation

of the derivative as velocity. In contrast to most other textbooks,

considerable attention is devoted here to the concept of the differential

as the principal part of the change of a function. Numerous physical

applications are examined in accordance with the same schema: if

the differential of one physical magnitude — such as, work — is

proportional to the differential of another physical magnitude — such

as displacement, dA = F(x)dx — then force equals the derivative

of work with respect to displacement, F(x) =

dA

dx

. The concluding

conversation introduces the concept of linearization: a small change in

one magnitude brings about a proportional change in another.

Trigonometric functions are introduced in connection with the

description of periodic processes; in particular, the author examines

uniform motion along a circle. Formulas for the derivatives of the

sine and cosine are derived using the coordinates of the vector of

the instantaneous velocity, which is perpendicular to the radius vector

of a point on the circle. Using these formulas, the author finds

approximate formulas for computing sines and cosines for small x:

sin x ≈ x, cos x ≈ 1 −

x

2

2

.

The integral is defined as the area of a curvilinear trapezoid, after

which the Newton–Leibniz formula related to its connection with

antiderivatives is proven. It is then stated that the integral can be defined

in four ways: as the area under the curve of a function, as the limit

of sums, as the change in the antiderivative, and as a function of an

interval.

In this way, Bashmakov’s textbook introduces the material “on a

physical level of rigor,” maintaining this level throughout the text.

In spirit, this textbook is closer to the calculus of Newton and

Leibniz than the calculus of Cauchy and Weierstrass. At the same

time, both the conceptual aspects and the techniques are laid out

clearly and comprehensively. The language of the textbook is free and

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

Elements of Analysis in Russian Schools

223

not “scientific-sounding” (for example, the chapter “Equations and

Inequalities” bears an epigraph from George Orwell: “All animals are

equal, but some animals are more equal than others”). In order for

students to understand this textbook, however, it is desirable that they

should have a decent knowledge of physics, which is not always the case.