Russian Mathematics Education

n−1

for all integers n is proven by induction. The formula for

the derivative of a composite function is discussed and proven. Students

are asked to differentiate the following functions:

f(x) = (5x − 2)

13

− (4x + 7)

−6

, f(x) = (x

3

− 2x

2

+ 3)

17

(pp. 117–118).

The formula for the derivative of the sine is derived using the

limit

sin x

x



→ 1 as x → 0, which in turn is based on geometric

considerations.

The textbook then discusses using continuity and the derivative.

For continuous functions, the following property, obvious from visual

considerations, is formulated without proof: “If the function f is

continuous and does not become zero on an interval (a; b), then its

sign remains constant on this interval” (p. 122). Effectively, this is

the intermediate value theorem, familiar from courses in calculus. This

property is used as a foundation for the interval method and the method

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

216

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

for finding approximate solutions to equations by progressively narrow-

ing the segment at whose endpoints the function has different signs.

Geometric and mechanical applications of derivatives are examined.

Among the geometric applications, for example, is the equation for

the line tangent to the graph of a function, which in turn is used for

approximate computations: for small x, the following approximate

formula is defined:f(x) ≈ f(x

0

) + f



(x

0

)x. This formula is used to

find approximate values of power and trigonometric functions. Visual-

geometric considerations underpin the so-called Lagrange formula

(concerning the fact that when certain conditions hold on the segment

[a, b], there will be a c ∈ (a, b) such that f



(c) =

f(b)−f(a)

b−a

).

The physical applications are quite varied and not reducible to the

concept of instantaneous velocity. The textbook examines acceleration,

linear density, and angular velocity. Of interest is the physical derivation

(or illustration) of certain calculus theorems. The formula for the

derivative of a sum is connected with the velocity addition law.

Lagrange’s theorem, mentioned above, is connected with the fact

that at a certain moment in a motion, the instantaneous and average

velocities must coincide.

The use of the derivative for the investigation of functions is the

most important application of the derivative in the school curriculum.

The presentation is quite similar to the college course in calculus,

since it involves the formulation of Lagrange’s theorem, which is

fundamental to this topic. Lagrange’s theorem is then used to prove

sufficient conditions for a function to be increasing or decreasing;

this is followed by a proof of a necessary condition for a function to

have an extremum and sufficient conditions for a function to have an

extremum (a change in the sign of the derivative). The final topic in

the chapter “Derivatives and Their Applications” is the greatest and

the least value of a function. A large number of applied problems are

solved, providing the occasion to discuss mathematical modeling. An

example of such a problem is:

A square sheet of tin with side a must be used to make an open-

top box by cutting out squares at the corners and bending the edges

upward. What must be the length of the side of the base of the box

in order for the box to have the maximal volume? (p. 152)

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05