Российский экономический

j
-я продукция по 
s
-й технологии в оптимальном 
плане не производится (
𝑥
𝑗
𝑠∗
= 0), если потенциальный эффект превосходит ре-
альный: 
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑠
𝑦
𝑗
∗
− 𝑣
𝑗
∗
> 𝑝
𝑗
𝑠
𝑚
𝑖=1
. 
Иными словами, если потери от отвлечения ресурсов в размере 
𝑎
𝑖𝑗
𝑠
от 
других технологий (как по производству данной 
j
-й продукции, так и прочих), 
а также от выполнения плана производства 
j
-й продукции за счет ее выпуска 
по данной 
s
-й технологии (а не других) превосходят полученный результат, то 
данная технология невыгодна. 
По условию (4.25)
 j
-я продукция по 
s
-й технологии в оптимальном плане 
производится (
𝑥
𝑗
𝑠∗
 

0), если потенциальный эффект совпадает с реальным: 
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑠
𝑦
𝑗
∗
− 𝑣
𝑗
∗
= 𝑝
𝑗
𝑠
𝑚
𝑖=1
. 
73

---

Или, что то же самое, потери покрываются полученным результатом. В 
этом случае 
s
-я технология выгодна. Выгодна не вообще, а с точки зрения дан-
ного критерия оптимальности. Например, в задаче на максимум дохода техно-
логия эффективна, если реальный, полученный доход совпал с потенциальным. 
Иными словами, мы получаем величину дохода ровно такую, какую могли бы 
максимально получить при наилучшем использовании ресурсов и распределе-
нии продукции по технологиям. 
О неоптимальности плана будет свидетельствовать третья ситуация, не 
предусмотренная, естественно, в теоремах двойственности: 
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑠
𝑦
𝑗
∗
− 𝑣
𝑗
< 𝑝
𝑗
𝑠
𝑚
𝑖=1
. 
Здесь потенциальный, ожидаемый нами эффект меньше реального. Ре-
зультат не покрывает потери. План, при котором такая ситуация возможна, не-
оптимален именно потому, что не использует (
𝑥
𝑗
𝑠
= 0) такую сверхрентабель-
ную технологию, сверхрентабельный вариант производства. Сверхрентабельна 
эта технология в силу того, что она лучше технологий, вошедших в план задачи 
на данном шаге. Оценки 
𝑦
𝑖
 
и 
𝑣
𝑗
в неоптимальном плане также неоптимальны, 
так как отражают лишь технологии, формирующие план данного шага, но не 
учитывают «пропущенные» сверхрентабельные технологии. 
Вернемся к нашему примеру. Пусть предложена еще одна технология до-
бычи угля, при которой норма затрат оборотных средств на тонну угля снижа-
ется до 0,45 руб. Отсюда: 
0,45 × 5 + 1

× 0 + 0,25 × 0 – 1,3 

1,2. 
По этой технологии потери в суммарной добыче условного топлива 
меньше ее реального прироста от добычи тонны угля: 0,95 т у.т.

1,2 т у.т. По-
явление новой технологии делает первоначальный оптимальный план неопти-
мальным. Его улучшение состоит в использовании появившейся сверхрента-
бельной технологии. 
Следует отметить, что оценки как удельные величины показывают вы-
годность, невыгодность, эффект, потери и т.д. в расчете на единицу соответ-
ствующих ресурсов или продукции, а не на весь их объем. Удельны (в расчете 
на единицу продукции) и основные ограничения двойственной задачи, а следо-
вательно, и условия (4.24) и (4.25). 
Также важно, что оценки не просто оценивают ресурсы или продукцию с 
точки зрения их влияния на критерий оптимальности, а именно с точки зрения 
их влияния на его максимизацию (минимизацию). Так, в задаче на максимум 
дохода оценка ресурса покажет максимально возможный размер увеличения 
дохода от привлечения дополнительной единицы ресурса. Это предусматривает 
наилучшее использование ресурса. Оценка же продукции, наоборот, покажет 
минимально возможный размер снижения дохода от дополнительного задания 
на выпуск единицы продукции. При этом опять же предусматривается наилуч-
шее использование ресурсов производства. 
По четвертому свойству «оценка — средство балансировки затрат и ре-
зультатов». 
74

---

По первой теореме двойственности (условие (4.26)) в оптимальном плане 
задачи на максимум дохода: 
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠∗
=
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
∑
𝑏
𝑖
𝑢
𝑖
∗
− ∑
𝑏
𝑗
𝑣
𝑗
∗
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
.
В правой части равенства первая сумма показывает весь тот совокупный 
потенциальный доход, который содержится во всем объеме всех ресурсов и ко-
торый может быть получен при их наилучшем использовании. Вторая сумма в 
правой части показывает все то совокупное потенциальное уменьшение дохода, 
которое содержится во всем объеме заданий по выпуску всех видов продукции 
и которое может иметь место при наилучшем распределении производственной 
программы по технологиям. В целом вся правая часть показывает общий раз-
мер совокупной «способности» ресурсов приносить доход, который снижается 
совокупной «способностью» заданий по выпуску уменьшать доход. 
Производство продукции тратит эти «способности», этот потенциальный 
доход, что компенсируется получением реального дохода как результата произ-
водства. План оптимален, если затраты полностью компенсируются результа-
тами. И обратно, если затраты с результатами сбалансированы полностью, то 
план оптимален. 
В силу максимизации критерия оптимальности в прямые задачи любой 
неоптимальный план даст дохода меньше, нежели оптимальный: 
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠∗
<
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠∗
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
. 
Соответственно, в силу минимизации критерия оптимальности двой-
ственной задачи: 
∑
𝑏
𝑖
𝑦
𝑖
− ∑
𝑏
𝑗
𝑣
𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
> ∑
𝑏
𝑖
𝑦
𝑖
∗
− ∑
𝑏
𝑗
𝑣
𝑗
∗
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
. 
Отсюда для неоптимального плана: 
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠∗
<
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
∑
𝑏
𝑖
𝑦
𝑖
− ∑
𝑏
𝑗
𝑣
𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
, 
т.е. балансировка совокупных затрат и результатов нарушена. Реально 
полученный доход меньше потенциального, недополученного. Следует также 
отметить, что в данном случае имеет место как «занижение» реально получен-
ного дохода по сравнению с его оптимальным уровнем, так и аналогичное «за-
вышение» потенциального дохода. Последнее — в силу несовпадения реальных 
оценок по сравнению с их оптимальными значениями.