Российский экономический

k
-го ресурса, причем на одну единицу (

𝑏
𝑘
= 1; 

𝑏
𝑖
= 0 для 
i 

 k
). Тогда:
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠∗∗
=
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
∑
𝑏
𝑖
𝑦
𝑖
∗∗
− ∑
𝑏
𝑗
𝑣
𝑗
∗∗
+ 1
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
𝑦
𝑘
∗∗
. 
Двойственные оценки обладают свойством устойчивости. При некоторых 
изменениях исходных условий, ведущих к несущественным (в определенном 
смысле) изменениям оптимального плана прямой задачи, значения оценок не 
меняются. О границах устойчивости оценок поговорим в следующем разделе. 
Пока же признаем наше скромное (только по одному ресурсу и только на еди-
69

---

ницу) изменение «несущественным». Поэтому допустим, что 
𝑣
𝑗
∗∗
= 
𝑣
𝑗
∗
 
и
 
𝑦
𝑖
∗∗
=
 
𝑦
𝑖
∗
. 
Учитывая это: 
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠∗∗
=
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
∑
𝑏
𝑖
𝑦
𝑖
∗
− ∑
𝑏
𝑗
𝑣
𝑗
∗
+ 1
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
𝑦
𝑘
∗
. 
Воспользовавшись условием (4.26), заменим в правой части равенства 
разность сумм на величину, равную ей: 
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠∗∗
=
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠∗
+ 1
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑦
𝑘
∗
𝑛
𝑗=1
. 
Новый оптимум прямой задачи оказывается больше первоначального оп-
тимума на величину оценки 
k
-го ресурса. Очевидно, увеличение ресурса на две 
единицы увеличило бы функционал прямой задачи на двойную величину его 
оценки. Соответственно, уменьшение (

𝑏
𝑘
= –1) этого же ресурса сократит 
функционал на величину его оценки. Зависимость критерия оптимальности от 
величины ресурса определяется величиной оценки. Для недефицитного ресурса 
оценка равна нулю, поэтому изменение его величины не повлияет на критерий 
оптимальности. Если 
𝑦
𝑘
∗
= 0, то: 
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠∗∗
=
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠∗
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
. 
Действительно, увеличение (уменьшение) недефицитного ресурса лишь 
увеличит (уменьшит) его неиспользованный остаток, производство же продук-
ции остается тем же, лимитируемое дефицитными ресурсами. 
Таким образом, оценка ресурса показывает, на сколько изменится крите-
рий оптимальности при изменении количества данного ресурса на единицу. 
Увеличение ресурса увеличивает значение максимизируемой целевой функции, 
уменьшение — уменьшает (для недефицитного ресурса не меняет). Дефицит-
ность ресурса измеряется вкладом единицы ресурса в изменение целевой функ-
ции. Так, при максимизации дохода дефицитность ресурсов определяется их 
способностью приносить дополнительный доход, а мера влияния ресурса на 
суммарный доход измеряется величиной его оценки. 
Изменив плановое задание по выпуску какого-либо одного вида продук-
ции (

𝑏
𝑘
 
= 1; 

𝑏
𝑖
= 0 для 
j 

 k
) и проделав аналогичные манипуляции, получим: 
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠∗∗
=
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠∗
+

𝑏
𝑘
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑣
𝑘
∗
𝑛
𝑗=1
, 
где 
𝑣
𝑘
∗
— оптимальная оценка 
k
-й продукции. 
Влияние ограничений по выпуску на критерий оптимальности обратно, 
нежели ограничений по ресурсам. Увеличение заданий по выпуску продукции 
уменьшает значение максимизируемой целевой функции, а уменьшение — уве-
личивает. Для выгодной продукции уменьшает (увеличивает) на нуль, т.е. не 
меняет. Если продукция невыгодна, то увеличение планового задания заставит 
повысить ее выпуск. На это дополнительно потребуются ресурсы. Недефицит-
ные ресурсы можно взять из их неиспользованных остатков. Дефицитные ис-
трачены и их можно получить, лишь «отняв» у выгодной продукции, уменьшив 
ее сверхплановый (необязательный) выпуск. Таким образом, увеличение вы-
пуска невыгодной продукции ведет к уменьшению выпуска выгодной и ухуд-
шает план. Наоборот, уменьшение плановых заданий по невыгодной продукции 
позволяет снизить ее выпуск, перебросить сэкономленные ресурсы на дополни-
70

---

тельный сверхплановый выпуск выгодных видов продукции, что увеличит при-
быль. 
Если же мы примемся изменять (в некоторых пределах) плановые задания 
по выгодной продукции, то это ничего не изменит, так как ее выпуск в опти-
мальном плане выше заданий. Таким образом, невыгодность продукции изме-
ряется отрицательным вкладом единицы продукции в изменение целевой функ-
ции. Так, при максимизации прибыли невыгодность продукции определяется ее 
способностью уменьшать прибыль, а мера влияния продукции на суммарную 
прибыль измеряется величиной ее оценки. 
Вернемся к нашему примеру с добычей топлива (см. табл. 4.2). В опти-
мальном плане добычи дефицитен лишь один ресурс — фонд оборотных 
средств, его оценка 
𝑦
1
∗
= 5 т у.т./руб. Пусть фонд оборотных средств сокращен 
на 0,5 тыс. руб. Так как добывается всего два вида топлива, то сложных пере-
расчетов не потребуется. Уголь имеет оценку 
𝑣
2
∗
= 1,3 т у.т./т угля, следова-
тельно, он невыгоден, поэтому перевыполнения по его добыче нет, а уменьшать 
добычу менее величины задания недопустимо. Торф имеет нулевую оценку (
𝑣
1
∗
= 0), т.е. выгоден и имеет сверхплановую добычу (
𝑥
1
∗
= 100 

90). Ее и возможно 
(правда, вынужденно) сократить. Оставшегося фонда оборотных средств в раз-
мере 19,5 тыс. руб. хватит лишь на выполнение плановых заданий, но не более 
(
𝑥
1
∗
= 90 тыс. т торфа, 
𝑥
2
∗
= 30 тыс. т угля), что даст 58,5 тыс. т у.т. Уменьшение 
суммарной добычи условного топлива по сравнению с первоначальным планом 
(см. табл. 4.2) составило 2,5 тыс. т у.т. Оценка фонда оборотных средств пока-
зывает, что дополнительный рубль этого ресурса позволит увеличить суммар-
ную добычу условного топлива на 5 т. Соответственно, уменьшение этого ре-
сурса на 0,5 тыс. руб. сократит суммарную добычу на 2,5 тыс. т условного топ-
лива (0,5 тыс. руб. × 5 т у.т./руб. = 2,5 тыс. т у.т.). 
Увеличим задание по добыче угля с 30 до 31 тыс. т. Его оценка показыва-
ет, что дополнительное задание на добычу одной тонны угля уменьшит сум-
марную добычу условного топлива на 1,3 т. Изменившийся оптимальный план 
предусматривает выполнение плановых заданий, но не более (
𝑥
1
∗
= 90 тыс. т 
торфа, 
𝑥
2
∗
= 31 тыс. т угля). Сравнив с первоначальным оптимальным планом 
(см. табл. 4.2), видим, что дополнительные задания по углю «отняли» часть де-
фицитного фонда оборотных средств у торфа, чем уменьшили его сверхплано-
вую добычу до нуля. Дополнительная в соответствии с повышенными задания-
ми добыча угля дает увеличение суммарной добычи условного топлива на 1,2 
тыс. т, что не компенсирует ее снижение на 2,5 тыс. т за счет ликвидации 
сверхплановой добычи торфа в размере 10 тыс. т. Общее уменьшение суммар-
ной добычи условного топлива в 1,3 тыс. т можно вычислить и через оценку 
угля (1 тыс. т × 1,3 т у.т./т угля). 
Кстати, уменьшив задания по углю до 29 тыс. т, что в соответствии с 
оценкой обещает увеличить суммарную добычу условного топлива с 61 до 62,3 
тыс. т, получим оптимальный план этой же задачи, но без ограничений по про-
изводственной программе (см. рис. 4.1, 
в
). 
Таким образом, фонд оборотных средств как дефицитный ресурс способ-
ствует росту суммарной добычи условного топлива, а плановые задания на 
71

---

уголь как дефицитную продукцию способствуют снижению суммарной добычи 
условного топлива. 
Одновременно увеличим фонд оборотных средств на 0,26 тыс. руб. и за-
дания по добычи угля на 1 тыс. т. Как в этом случае изменится суммарная до-
быча условного топлива? Прирост дефицитного ресурса увеличит ее на 0,26 
тыс. руб. × 5 т у.т./ руб. = 1,3 тыс. т у.т., а дополнительные задания по углю 
уменьшат на 1 тыс. т угля × 1,3 т у.т./т угля = 1,3 тыс. т у.т. В целом значение 
критерия оптимальности не изменится, хотя сам оптимальный план добычи бу-
дет иным (
𝑥
1
∗
= 95,6 тыс. т торфа,