Российский экономический

Решение симплекс-методом прямой задачи
 
1 
х
3
х
7
с 
61 
5 
1,3 
х
1
100 
20 
10 
х
2
30 
0 
–1 
х
4
40 
–22 
–10 
х
5
2 
–4,5 
–2 
х
6
10 
20 
10 
67

---

Дополнительные неизвестные 
𝑥
3
, 
𝑥
4
и 
𝑥
5
представляют собой неисполь-
зованные остатки ресурсов (фонда оборотных средств, электроэнергии и трудо-
вых ресурсов), а 
𝑥
6
и
 
𝑥
7
— 
перевыполнение планов производства продуктов 
(торфа и угля). В таблице 4.2 оценки соответствующих ресурсов или продукции 
находятся, как и в таблице на рис. 4.1, 
в
, в первой строке. 
В каких единицах измеряются полученные оценки? Проставив в только 
что полученные равенства размерности исходных (см. рис. 4.1) величин, полу-
чим, что размерность каждой из оценок — тонны условного топлива (т у.т.) в 
расчете на единицу соответствующего ресурса или конкретного топлива, так, 
𝑦
1
= 5 т у.т./руб.,
𝑣
2
= 1,3 т у.т./т угля. Таким образом, не только величина оце-
нок определяется теми или иными конкретными цифрами плана прямой задачи, 
но и единицы измерения оценок зависят от вида прямой задачи, т.е. от того, что 
обозначают ее ограничения и каков критерий оптимальности. При тех же циф-
рах прямой задачи, но другой интерпретации (например, критерий оптимально-
сти — суммарная прибыль от добычи), оценки, численно те же самые, будут 
измеряться в рублях прибыли на единицу ресурса или топлива. 
Экономическое истолкование оценок есть интерпретация их общих эко-
номико-математических свойств применительно к конкретному содержанию 
каждой рассматриваемой задачи. 
По первому свойству «оценка — мера дефицитности ресурсов и продук-
ции».
 
По условию (4.20) неиспользованный полностью в оптимальном плане 
ресурс получает нулевую оценку (
𝑦
𝑖
∗
= 0). Или, что-то же самое, равная в опти-
мальном плане нулю оценка ресурса свидетельствует о его недефицитности. 
Причем ресурс недефицитен не из-за его неограниченных запасов (они ограни-
чены величиной 
𝑏
𝑖
), не из-за слишком большой величины запаса (хотя и такое 
случается), а из-за невыгодности его полного использования в оптимальном 
плане. Любой другой план, при котором он будет полностью истрачен (как пра-
вило, такой план возможен), неоптимален, т.е. менее выгоден. Так как суммар-
ный расход недефицитного ресурса меньше его общего количества, то план 
производства им не лимитируется. Данный ресурс не препятствует и дальше 
максимизировать целевую функцию (4.12). 
Ограничивают целевую функцию дефицитные ресурсы. Они истрачены в 
оптимальном плане полностью. Именно отсутствие каких-либо остатков дефи-
цитных ресурсов препятствует дальнейшему наращиванию критерия оптималь-
ности прямой задачи. Дефицитны те ресурсы, которых не хватает в оптималь-
ном плане. По условию (4.21) оценка таких ресурсов положительна (
𝑦
𝑖
∗
 

0). И 
наоборот, положительная в оптимальном плане оценка ресурса свидетельствует 
о его дефицитности. Очевидно, если дефицитность ресурса измеряется его 
оценкой, то, чем выше оценка, тем более дефицитен ресурс. 
Рассмотрим теперь понятие дефицитности продукции. По условию (4.22) 
нулевую оценку (
𝑣
𝑗
∗
= 0) получает продукция, задания по выпуску которой в оп-
тимальном плане перевыполняются. Очевидно, перевыполнение плана целесо-
образно по выгодной продукции, т.е. такой, производство которой способствует 
68

---

достижению максимума критерия оптимальности. Размеры производства такой 
выгодной продукции определяются не величиной задания на выпуск 
𝑏
𝑖
 
(в опти-
мальном плане они перекрыты), а ограниченностью дефицитных ресурсов. Мы 
увеличиваем выпуск этой продукции до тех пор, пока хватает ресурсов. 
Причем выпуск выгодной продукции ограничивается не только фактом 
ограниченности дефицитных ресурсов (недефицитные нас не лимитируют), но 
и тем, что часть дефицитных ресурсов требуется выделить на обеспечение вы-
пуска невыгодной продукции в соответствии с плановыми заданиями. По усло-
вию (4.22) положительную оценку (
𝑣
𝑗
∗

0) получает продукция, задания по вы-
пуску которой не перевыполняются. Так как по условию (4.14) плановые зада-
ния должны быть обязательно выполнены по всем видам продукции, то про-
дукция делится на выгодную и невыгодную с точки зрения оптимальности пла-
на и в зависимости от того, перевыполняется план выпуска или нет. Если оцен-
ка продукции положительна, то она невыгодна и выпускается не для максими-
зации критерия оптимальности, а лишь для выполнения плановых заданий. Ее 
выпуск поглощает часть дефицитных ресурсов, чем сдерживает рост выпуска 
выгодной продукции, а тем самым и рост целевой функции. Невыгодная про-
дукция препятствует дальнейшему увеличению значения критерия оптимально-
сти. Для выгодной продукции задание по выпуску несущественно, так как его 
перевыполнение обусловлено самим фактом выгодности этой продукции. 
Очевидно, если дефицитность ресурса (продукции) измеряется его оцен-
кой, то чем выше оценка, тем более дефицитен ресурс (продукция). Подробнее 
это прослеживается при рассмотрении следующего свойства оценок. 
По второму свойству «оценка — мера влияния ограничения на функцио-
нал модели». 
Дадим некоторое приращение 

𝑏
𝑖
каждому из ресурсов, после чего его 
общая величина станет 
𝑏
𝑖
+ 

𝑏
𝑖
. Обозначим через 
𝑥
𝑗
𝑠∗∗
, 
𝑦
𝑖
∗∗
и 
𝑣
𝑗
∗∗
новые значения 
неизвестных прямой и двойственной задач в новом (при изменившихся ресур-
сах) оптимальном плане. Для него, как и для любого оптимального плана, по 
первой теореме двойственности значения функционала прямой и двойственной 
задач равны, т.е.: 
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠∗∗
=
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
∑
(𝑏
𝑖
+

𝑏
𝑖
)𝑦
𝑖
∗∗
− ∑
𝑏
𝑗
𝑣
𝑗
∗∗
=
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1
∑
𝑏
𝑖
𝑦
𝑖
∗∗
−
𝑚
𝑖=1
∑
𝑏
𝑗
𝑣
𝑗
∗∗
+ + ∑
∆𝑏
𝑖
𝑦
𝑖
∗∗
𝑚
𝑖=1
𝑛
𝑗=1
. 
Пусть введенные нами изменения лимитов ресурсов минимальны — уве-
личивается количество лишь