Российский экономический

4
.2. Экономические свойства двойственных оценок 
Построим модель задачи, двойственной к (2.12) — (2.15). Предварительно 
изменим знак неравенства в ограничениях (2.14) на противоположный, домно-
жив их обе части на –1. 
64

---

1. Тогда модель прямой задачи будет выглядеть так: 
∑
∑
𝑝
𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠
→ max
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
; 
(4.12) 
∑
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑠
𝑥
𝑗
𝑠
≤ 𝑏
𝑖
𝑟
𝑗
𝑠=1
𝑛
𝑗=1
, (i = 1, 2,…,m); 
(4.13) 
− ∑
𝑥
𝑗
𝑠
≥ −𝑏
𝑗
𝑟
𝑗
𝑠=1
, (j = 1, 2,…,n); 
(4.14) 
 
𝑥
𝑗
𝑠
≥ 0
,
 
(
j = 
1, 2,…,
n
), (
s 
= 1, 2,…,
𝑟
𝑗
)
.
(4.15) 
Так как в прямой задаче имеются основные ограничения двух видов 
(4.13) и (4.14), то целесообразно различать две группы неизвестных двойствен-
ной задачи, т.е. оценок. Обозначим через 
у
𝑖
оценки, соответствующие ограни-
чениям по использованию ресурсов в прямой задаче, а через 
𝑣
𝑗
— оценки, соот-
ветствующие ограничениям по производственной программе. 
Модель двойственной задачи, будет следующей: 
∑
𝑏
𝑖
𝑦
𝑖
−
𝑚
𝑖=1
∑
𝑏
𝑖
𝑦
𝑖
𝑛
𝑗=1
→ min
, 
(4.16) 
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑠
𝑦
𝑖
−
𝑚
𝑖=1
𝑣
𝑗
≥ 𝑝
𝑗
𝑠
; (j = 1, 2,…,n), (s = 1, 2,…,
𝑟
𝑗
); (4.17) 
𝑦
𝑖
≥ 0,
(
i = 
1, 2,…,
m
);
 
(4.18) 
𝑣
𝑗
≥ 0,
(j = 1, 2,…,n). 
(4.19) 
Обратимся к нашей конкретной задаче на максимизацию добычи услов-
ного топлива. Ее модель в численном виде (2.1) — (2.6), дополненная ограни-
чениями по производственной программе (2.10) и (2.11), после приведения всех 
неравенств к виду «

» будет следующей: 
0,05 
𝑥
1
+ 0,5 
𝑥
2

20;
1,1
𝑥
1
+ 
𝑥
2

180; 
0,225
𝑥
1
+0,25
𝑥
2

32; 
– 𝑥
1

–90; 
–
𝑥
2

–30; 
𝑥
1

0; 
𝑥
2

0; 
0,25
𝑥
1
+ 1,2
𝑥
2

max
. 
Отметим, что для компактности во всех правых частях ограничений со-
кращены три нуля, после чего все ресурсы и продукция измеряются в тысячах 
единиц. 
Введем обозначения для неизвестных двойственной задачи. Пусть
у
1
, у
2
, 
у
3 — 
оценки ресурсов (фонда оборотных средств, электроэнергии, трудовых ре-
сурсов соответственно), а 
v
1
, v
2 — 
оценки ограничений (соответственно торфа и 
угля). 
Построим двойственную задачу: 
0,05
𝑢
1
+ 1,1
𝑢
2
+0,225
𝑢
3
– 
𝑣
1

0,25; 
0,5
𝑢
1
+ 
𝑢
2
+ 0,25
𝑢
3
– 
𝑣
2

1,2; 
𝑢
1

0; 
𝑢
2

0; 
𝑢
3

0;
 
𝑣
1

0; 
𝑣
2

0; 
20
𝑢
1
+180
𝑢
2
+ 32
𝑢
3
– 90
𝑣
1
– 30
𝑣
2

 
min
. 
Для правильного построения двойственной задачи полезно составить сле-
дующую таблицу, основу которой составляет матрица (выделена жирными ли-
ниями) коэффициентов при неизвестных в ограничениях. 
65

---

Таблица 4.1 заполняется исходя из конкретного вида прямой задачи. За-
тем вводятся обозначения переменных двойственной задачи, знаки ее нера-
венств и критерия оптимальности. Если ограничения и критерий оптимально-
сти для прямой задачи формируется по строкам табл. 4.1, то для двойствен-
ной — по столбцам. 
Таблица 4.1