Российский экономический

Рис. 4.2.
График изменения оценки ресурсов 
Для определения границ устойчивости двойственных оценок ресурсов 
вернемся к матрице эффективности 
D
для модели (2.1) — (2.6). В соответствии 
с условием (2.3) 
D
= 
(𝐴
∗
)
−1
. Напомним, что 
А
∗
 
включает только те столбцы из 
исходной матрицы норм затрат, которые соответствуют базисным (ненулевым) 
переменным оптимального плана. 
Матрица 
D
не зависит от величины каждой из
 
𝑥
𝑗
∗
, а зависит только от ее 
номера 
j
. Лишь появление новой ненулевой переменной вызовет появление но-
вого столбца в матрице 
𝐴
∗
, что изменит и обратную ей матрицу 
D
, а следова-
тельно, и вектор оценок. Любое изменение величины базисной переменной 
𝑥
𝑗
∗
 
оставит неизменными матрицы 
𝐴
∗
, 
D
и вектор 
Y
. Любое изменение, кроме 
79

---

уменьшения до нуля, так как в этом случае базисная переменная становится 
небазисной, выходит из оптимального плана, а на ее место встает новая пере-
менная, ранее принимавшая нулевое значение. 
Таким образом, границы устойчивости оценок зависят от устойчивости не 
величин, а номеров базисных переменных оптимального плана. Определяются 
же эти границы выходом хотя бы одной переменной из базиса, т.е. ее уменьше-
нием до нуля. 
При каких условиях в оптимальном плане переменные будут менять свою 
величину? Согласно (4.5): 
𝑥
𝑗
∗
= ∑
𝑑
𝑗𝑖
𝑏
𝑖
𝑚
𝑖=1
, 
где 
𝑑
𝑗𝑖
— элементы матрицы 
D
. 
Изменим величины ресурсов, дав им приращение 

𝑏
𝑖
. Тогда изменятся и 
значения неизвестных: 
𝑥
𝑗
∗
+ ∆𝑥
𝑗
∗
= ∑
𝑑
𝑗𝑖
(𝑏
𝑖
𝑚
𝑖=1
+ ∆𝑏
𝑖
) = ∑
𝑑
𝑗𝑖
𝑏
𝑖
𝑚
𝑖=1
+ ∑
𝑑
𝑗𝑖
∆𝑏
𝑖
𝑚
𝑖=1
, 
Очевидно, что: 
∆𝑥
𝑗
∗
= ∑
𝑑
𝑗𝑖
∆𝑏
𝑖
𝑚
𝑖=1
. 
Для простоты положим, что меняется значение лишь одного 
k
-го ресурса, 
т.е. 
∆𝑏
𝑘
 


, а 
∆𝑏
𝑖
=

для всех 
i 

 k. 
Тогда 
∆𝑥
𝑗
∗
= 𝑑
𝑗𝑘
∆𝑏
𝑘
.
Для нахождения границ устойчивости оценок нас интересуют лишь слу-
чаи уменьшения величины базисных переменных оптимального плана 
x
j
 *
, при-
чем уменьшения до нуля, т.е. 
∆𝑥
𝑗
∗
= −𝑥
𝑗
∗
. Итак, выход на границы устойчивости 
оценок имеет место в случае: 
−𝑥
𝑗
∗
= 𝑑
𝑗𝑘
∆𝑏
𝑘
.
(4.27) 
Из условия (4.27) легко определить требуемое для этого значение изме-
нения ресурсов. При положительном коэффициенте 
𝑑
𝑗𝑘
требуется уменьшать
 k
-
й ресурс, при отрицательном коэффициенте 
𝑑
𝑗𝑘
— увеличивать. Так как изме-
нение 
k
-го ресурса будет изменять все базисные переменные 
𝑥
𝑗
∗
, то граница 
устойчивости определится самым чувствительным из них, т.е. тем, который 
быстрее прочих уменьшится до нуля. Достаточно выхода из базиса лишь одно-
го переменного и появления на его месте нового с новым номером, чтобы из-
менить оценки. Поэтому требуемое для достижения границ устойчивости уве-
личение 
k
-го ресурса определится из выражения: 
∆𝑏
𝑘
(+)
= min
𝑗
{−𝑥
𝑗
∗
/𝑑
𝑗𝑘
} > 0 , для 𝑑
𝑗𝑘
< 0
, 
(4.28) 
а
 
уменьшение — из выражения: 
∆𝑏
𝑘
(−)
= max
𝑗
{−𝑥
𝑗
∗
/𝑑
𝑗𝑘
} < 0 , для 𝑑
𝑗𝑘
> 0
. 
(4.29)
Естественно, что при 
𝑑
𝑗𝑘
= 

изменение 
k
-го ресурса не способно изменить 
величину 
𝑥
𝑗
∗
. 
Изменим сразу все (несколько) лимиты ресурсов в фиксированной про-
порции (
𝑔
1
: 
𝑔
2
: ...: