Riss teoremasi


BOB. Tekislikda Koshi-Riman sistemasi uchun Koshi masalasi. Soha chegarasining qismida berilgan funksiyani soha ichiga golomorf



Download 268,95 Kb.
bet6/9
Sana17.07.2022
Hajmi268,95 Kb.
#816534
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Bog'liq
umumlashgan analitik funksiyalarni davom ettirish masalasi

BOB. Tekislikda Koshi-Riman sistemasi uchun Koshi masalasi. Soha chegarasining qismida berilgan funksiyani soha ichiga golomorf

davom ettirish masalasi.
2.1-§. Analitik davom ettirish masalasi yechimining yagonaligi haqida.

2.1.1-Теорема.
F (z)
funksiya
z  1
doirada golomorf va chegaralangan


bo’lsin. Agar
F (z)
funksiya qiymatlari
z  1
aylana ustidagi E ,
mesE  0


to’plamda nolga intilsa, u holda
F (z)
aynan nolga teng bo’ladi. [10].


Isbot.
F (z)  1 va
F (z)
aynan nolga teng emas deb olamiz. U holda


U (z)  ln F(z)
funksiya
z  1
doirada
F (z)
funksiyaning nollaridan tashqarida



manfiy ishorali garmonik bo’lib, bu nuqtalarda  ga aylanadi.

  1
radyusli
z  
aylanani shunday o’kazamazki, u funksiyaning nolini o’zida



saqlamasin,  birga qancha yaqin bo’lmasin bunday funksiya topiladi, chunki



F (z)
funksiyaning nolli to’plami birlik aylana ichida limitik nuqtaga ega emas. Bu


aylana ustida U funksiya
U (eiv )
manfiy ishorali qiymatlarni qabul qiladi. Bu

qiymatlar uchun Puasson integralini qaraymiz.







U 1 2
2
U (ei )
0
2r 2


d
2r 2  2 rCos ( )

Bunda
z rei ,
r   . U (z)
funksiya

z  
doirada garmonik bo’lib,
z  
da uzluksiz bo’ladi.


Quyidagi ayirmani qaraymiz


Dr (z)  U (z) U (z)

(2.1.1)



Dr (z)
funksiya
z  
doira ichida chekli sondagi nuqtalardan tashqarida garmonik



bo’lib, bu nuqtalarda  ga teng bo’ladi.

Maksimum prinspiga asosan
z  
bo’lganda
D (z)  0 ni hosil qilamiz.




  1. formuladan U (z)  U (z)  D (z) (11 ) ni olamiz.

F (z)
ning nollaridan farqli o’zgarmas z nuqtani olib
 1
da U (z)
funksiya 


ga intilishini ko’rsatamiz. U holda
D (z)  0
ekanligini etiborga olib (2.1.1)

munosabatdan izlanayotgan qarama-qarshilikni hosil qilamiz. Puasson integrali


U (z) ni yuqoridan baholash uchun





U (z) 
  r
2
1 U (ei )d

(2.1.2)


  r 2
0

tengsizlikni yozib olamiz. E ,
mesE  0
to’plamning  nuqtalari uchun

limU (ei )  
1

bo’lgani uchun, P , mesP mukammal to’plam mavjud bo’lib, unda tekis ravishda


U (ei )   bo’ladi. (2.1.2) tengsizlikni





U (z) 
  r 1
  r 2



U (ei

)d 




U (ei с

)d



ko’rinishda yozib olamiz,
 1
dan
U (ei )d

  va
U (ei )d  0
с

bo’lgani uchun oxirgi tengsizlikdan
U (ei )
ning

  • ga intilishi kelib chiqadi.

2.2-§. Tekislikda Koshi-Riman sistemasi uchun Koshi masalasini Karleman funksiyasi yordamida yechish.
Tekislikda chegaralangan D soha berilgan bo’lib Г uning chegarasi Г1, Г2



to’plamlar Г to’plamning qismlari bo’lsin.
Г Г1 Г2 ,
Г1Г Г1 to’plamda

(g(x, y))  (h(x, y)) funksiyar jufti berilgan bo’lsin. D sohada Koshi – Riman



sistemasining
(U (x, y),V (x, y))  (g(x, y),h(x, y))
shartni qanoatlantiruvchi yechimini

topish masalasini ya`ni Koshi masalasini qaraymiz. [12].



Agar
f (z)  U (x, y)  iV (x, y) ,
(z)  g(x, y)  ih(x, y),
z x iy
belgilashlarni

kiritsak, Koshi masalasi quyidagi analitik davom ettirish masalasiga ekvivalent



bo’ladi. D sohada analitik bo’lgan hamda
f (z)  (z) ,
z Г1
shartni

qanoatlantiruvchi
f (z)
funksiya topilsin. Agar
Г1 Г
bo’lsa analitik davom

ettirish masalasining yechimi Koshi integrali yordamida beriladi, yani


f (z) 1 f ( )d
2i   z
Г1Г bo’lganda analitik davom ettirish masalasi Laplas uchun Koshi masalasiga

ekvivalent bo’ladi.


U (z)

    1. Г1 to’plamda U (z) garmonik funksiyalar va uning normal xosilasi n

ning qiymatlari berilgan bo’lsin.


U (z)  g(z),

Quyidagi funksiyani qaraymiz




U z hz,
n


z
z Г1

z  gz i hzdS C1,
z0
z Г1 ,

bunda
z0 Г1
ning chegarasidan biri. U holda
 (z)
funksiya D sohada

f (z)  U (x, y)  iV (x, y) analitik bo’lgan funksiyaning chegaraviy qiymatlaridan

iborat bo’ladi. Shunday qilib


Г1 da U ,
U ma’lum bo’lsa
n
Г1 da
 (z)

analitik


funksiyaning qiymatlari ma’lum deb hisoblash mumkin.

    1. II.

bo’lsin.
Г1 da
f (z)  U (x, y)  iV (x, y)
analitik funksiya qiymatlari berilgan



U , V

garmonik funksiyalar. Koshi – Riman shartlaridan


U (z) V (z) ,
z Г

tenglik kelib chiqadi.


n S 1

Bunda
V V
S
funksiyadan
Г1 bo’ylab hosila. Shuning uchun
f (z) va

f (z)
funksiyalardan
Г bo’ylab hosila olib
U (z) 1
f (z) 
f (z),
z Г ni

1 n r S 1

olamiz. Faraz qilaylik
U (x, y)
funksiya uchun Koshi berilganlariga kelamiz.

Shunday qilib
Г1 Г
bo’lsa, u holda analitik davom ettirish masalasi Laplas

tenglamasi uchun Koshi masalasiga teng kuchli va demak nokorrekt bo’ladi.
Chegaralangan D sohada analitik, D sohada uzluksiz bo’lgan, hamda

f (z)  c
(z D)
(2.2.1)

shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to’plamini qaraymiz. Bu to’plamni M orqali belgilasak, Montel teoremasi (kompaktlik prinspi) ga ko’ra M kompakt to’plam bo’ladi. Teoremaga ko’ra qaralayotgan analitik davom ettirish masalasi yechimi yagona bo’ladi. Agar masalaning yechimi mavjud va M ga tegishli deb olsak, u holda A.N.Tixonov teoremasiga asosan masala turg’un bo’ladi. Demak M to’plamda analitik davom ettirish masalasi shartli korrekt bo’ladi. Qaralayotgan masala yechimi turg’unligi haqidagi teoremani isbotlashdan oldin, kompakt o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasida ma’lum bo’lgan garmonik o’lchov tushunchasini ko’rib o’tamiz.

2.2.1-Ta’rif:
Г1 chiziqning D sohadagi z nuqtasiga nisbatan garmonik

o’lchovi deb,
Г1 da birga teng,
Г 2 da nolga teng bo’lgan D sohada garmonik

bo’lgan (z)
funksiyaning z nuqtasidagi qiymatiga aytiladi. [12].

2.2.1-Teorema: Faraz qilaylik
f (z)
da regulyar analitik, D ning yopig’ida

uzluksiz hamda (3.1) shartni, shu bilan birga
f (z)
funksiya

f (z)
  ,
z Г1
(2.2.2)

f (z) ( z) c ( z)
tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda (2.2.3) shart o’rinli.
Isbot: Quyidagi funksiyalarni qaraymiz.
(2.2.3)

(z)  ln
f (z)
(2.2.4)


ma’lumki
 (z)
funksiya D sohaning
f (z)  0
shartni qanoatlantiruvchi nuqtalarda

regulyar garmonik bo’ladi.



Agar
z0 D
nuqtada
f (z0 )  0
bo’lsa, u holda
z z0
da ( )  
bo’ladi.

(2.2.1), (2.2.2) dan


(z)  ln  ,


(z)  ln c,


z Г1 z Г2
(2.2.5)

tenglikning o’rinli ekanligi kelib chiqadi. (2.2.4) va (2.2.5) ga ko’ra

 (z)  (z) ln   1 (z)ln c
funksiya uchun
(z)  (z)
tengsizlik o’rinli

bo’ladi. Bundan isbotlanishi talab etilgan (2.2.3) tenglik kelib chiqadi. Korrekt masalalarni tekshirishda yechimning yagonaligi va turg’unligi o’rnatilgandan keyingi bosqich regulirizatsiyalovchi oilasini qurishning asosiy metodidan biri Karleman formulasi metodi hisoblanadi. [12].


2.2.2-Ta’rif: D soha va Г1 egri chiziqning Karleman funksiyasi deb, ikki

kompleks o’zgaruvchili va bitta haqiqiy o’zgaruvchining quyidagi ikki xossalarga



ega bo’lgan
G(z, , )
funksiyaga aytiladi.


1. G(z, , ) 
1 G(z, , )

  • z

bunda
G(z, , )
 o’zgaruvchining



analitik funksiyasi bo’lib, D sohada analitik va chegaralangan,

2. G(z, , )
funksiya
G(z, , ) d
Г
  tengsizlikni qanoatlantiradi.

Karleman funksiyasi yordamida analitik davom ettirish masalasining regulirizatsiyasini quramiz. Quyida operatorlar oilasini qaraymiz.
Г1 da aniqlangan har bir uzluksiz  (z) funksiyaga, D sohada




 (z)  1 G(z, , )( )d
2i
Г
formula bilan aniqlangan  (z) funksiya mos qo’yiladi. Bunday yo’l bilan

aniqlangan operatorlar oilasi qaralayotgan analitik davom ettirish masalasi uchun



regulirizatsiyalovchi oila bo’lishini ko’rsatamiz. Har bir oilasi uzluksiz bo’ladi. Bundan tashqari
  0
uchun operatorlar

tenglikdan


G(x, , ) f ( )d
Г


f (z)  1 G(z, , ) f ( )d
2i
 0

G(z, , )d


(2.2.6)

Г Г
tenglikni hosil qilamiz. Karleman funksiyasi ta’rifidan (2.2.6) ning o’ng

tomonidagi ikkinchi qo’shiluvchi
  0
da nolga intilishi kelib chiqadi. Buni esa

regulirizatsiya masala shartida berilgan funksiya taqribiy berilganda taqribiy

yechimni toppish masalasiga qo’llaymiz. Bizga
berilgan bo’lsin:
Ã1 to’plamda
f z
funksiya



f zorqali
f z z   ,

2i
f z  1 Gz, ,  f  d
z Г1

funksiyani belgilab


(2.2.7)



f z 
Г1

2i
f z  1 Gz, , zf zd
Г1


1
2i
Gz, ,  f zd
Г2

ayirmani baholaymiz. (2.2.1) tengsizlik va Karleman funksiyasi ta’rifidan





Gz, ,  f zd
Г2
C 

tengsizlik o’rinli ekanligi kelib chiqadi.

z,  

belgilash kiritsak, (2.2.7) dan


Gz, ,  d
Г1

bunda


  z,   C 
f z  desak, f z 
f z    z,   C 


f z  2  z, .

bo’ladi. [3].



Download 268,95 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish