BOB. Tekislikda Koshi-Riman sistemasi uchun Koshi masalasi. Soha chegarasining qismida berilgan funksiyani soha ichiga golomorf
davom ettirish masalasi.
2.1-§. Analitik davom ettirish masalasi yechimining yagonaligi haqida.
2.1.1-Теорема.
F (z)
funksiya
z 1
doirada golomorf va chegaralangan
bo’lsin. Agar
F (z)
funksiya qiymatlari
z 1
aylana ustidagi E ,
mesE 0
to’plamda nolga intilsa, u holda
F (z)
aynan nolga teng bo’ladi. [10].
Isbot.
F (z) 1 va
F (z)
aynan nolga teng emas deb olamiz. U holda
manfiy ishorali garmonik bo’lib, bu nuqtalarda ga aylanadi.
1
radyusli
z
aylanani shunday o’kazamazki, u funksiyaning nolini o’zida
saqlamasin, birga qancha yaqin bo’lmasin bunday funksiya topiladi, chunki
F (z)
funksiyaning nolli to’plami birlik aylana ichida limitik nuqtaga ega emas. Bu
aylana ustida U funksiya
U (eiv )
manfiy ishorali qiymatlarni qabul qiladi. Bu
qiymatlar uchun Puasson integralini qaraymiz.
U 1 2
2
U (ei )
0
2 r 2
d
2 r 2 2 rCos ( )
Bunda
z rei ,
r . U (z)
funksiya
z
doirada garmonik bo’lib,
z
da uzluksiz bo’ladi.
Quyidagi ayirmani qaraymiz
Dr ( z) U ( z) U ( z)
(2.1.1)
Dr (z)
funksiya
z
doira ichida chekli sondagi nuqtalardan tashqarida garmonik
bo’lib, bu nuqtalarda ga teng bo’ladi.
formuladan U (z) U (z) D (z) (11 ) ni olamiz.
F (z)
ning nollaridan farqli o’zgarmas z nuqtani olib
1
da U (z)
funksiya
ga intilishini ko’rsatamiz. U holda
D (z) 0
ekanligini etiborga olib (2.1.1)
munosabatdan izlanayotgan qarama-qarshilikni hosil qilamiz. Puasson integrali
U ( z) ni yuqoridan baholash uchun
U ( z)
r
2
1 U ( ei ) d
(2.1.2)
r 2
0
tengsizlikni yozib olamiz. E ,
mesE 0
to’plamning nuqtalari uchun
limU ( ei )
1
bo’lgani uchun, P , mesP mukammal to’plam mavjud bo’lib, unda tekis ravishda
U ( ei ) bo’ladi. (2.1.2) tengsizlikni
U ( z)
r 1
r 2
U ( ei
)d
U ( ei с
) d
ko’rinishda yozib olamiz,
1
dan
U ( ei ) d
va
U ( ei ) d 0
с
bo’lgani uchun oxirgi tengsizlikdan
U ( ei )
ning
ga intilishi kelib chiqadi.
2.2-§. Tekislikda Koshi-Riman sistemasi uchun Koshi masalasini Karleman funksiyasi yordamida yechish.
Tekislikda chegaralangan D soha berilgan bo’lib Г uning chegarasi Г1, Г2
to’plamlar Г to’plamning qismlari bo’lsin.
Г Г1 Г2 ,
Г1 Г Г1 to’plamda
(g(x, y)) (h(x, y)) funksiyar jufti berilgan bo’lsin. D sohada Koshi – Riman
sistemasining
(U (x, y),V (x, y)) (g(x, y),h(x, y))
shartni qanoatlantiruvchi yechimini
topish masalasini ya`ni Koshi masalasini qaraymiz. [12].
Agar
f (z) U (x, y) iV (x, y) ,
(z) g(x, y) ih(x, y),
z x iy
belgilashlarni
kiritsak, Koshi masalasi quyidagi analitik davom ettirish masalasiga ekvivalent
bo’ladi. D sohada analitik bo’lgan hamda
f (z) (z) ,
z Г1
shartni
qanoatlantiruvchi
f (z)
funksiya topilsin. Agar
Г1 Г
bo’lsa analitik davom
ettirish masalasining yechimi Koshi integrali yordamida beriladi, yani
f (z) 1 f ( )d
2 i z
Г1 Г bo’lganda analitik davom ettirish masalasi Laplas uchun Koshi masalasiga
ekvivalent bo’ladi.
U ( z)
Г1 to’plamda U (z) garmonik funksiyalar va uning normal xosilasi n
ning qiymatlari berilgan bo’lsin.
U ( z) g( z),
Quyidagi funksiyani qaraymiz
U z h z,
n
z
z Г1
z gz i hzdS C1,
z0
z Г1 ,
bunda
z0 Г1
ning chegarasidan biri. U holda
(z)
funksiya D sohada
f (z) U (x, y) iV (x, y) analitik bo’lgan funksiyaning chegaraviy qiymatlaridan
iborat bo’ladi. Shunday qilib
Г1 da U ,
U ma’lum bo’lsa
n
Г1 da
( z)
analitik
funksiyaning qiymatlari ma’lum deb hisoblash mumkin.
U , V
garmonik funksiyalar. Koshi – Riman shartlaridan
U ( z) V ( z) ,
z Г
tenglik kelib chiqadi.
n S 1
Bunda
V V
S
funksiyadan
Г1 bo’ylab hosila. Shuning uchun
f (z) va
f (z)
funksiyalardan
Г bo’ylab hosila olib
U (z) 1
f (z)
f (z),
z Г ni
1 n r S 1
olamiz. Faraz qilaylik
U ( x, y)
funksiya uchun Koshi berilganlariga kelamiz.
Shunday qilib
Г1 Г
bo’lsa, u holda analitik davom ettirish masalasi Laplas
tenglamasi uchun Koshi masalasiga teng kuchli va demak nokorrekt bo’ladi.
Chegaralangan D sohada analitik, D sohada uzluksiz bo’lgan, hamda
f (z) c
(z D)
(2.2.1)
shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to’plamini qaraymiz. Bu to’plamni M orqali belgilasak, Montel teoremasi (kompaktlik prinspi) ga ko’ra M kompakt to’plam bo’ladi. Teoremaga ko’ra qaralayotgan analitik davom ettirish masalasi yechimi yagona bo’ladi. Agar masalaning yechimi mavjud va M ga tegishli deb olsak, u holda A.N.Tixonov teoremasiga asosan masala turg’un bo’ladi. Demak M to’plamda analitik davom ettirish masalasi shartli korrekt bo’ladi. Qaralayotgan masala yechimi turg’unligi haqidagi teoremani isbotlashdan oldin, kompakt o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasida ma’lum bo’lgan garmonik o’lchov tushunchasini ko’rib o’tamiz.
2.2.1-Ta’rif:
Г1 chiziqning D sohadagi z nuqtasiga nisbatan garmonik
o’lchovi deb,
Г1 da birga teng,
Г 2 da nolga teng bo’lgan D sohada garmonik
bo’lgan (z)
funksiyaning z nuqtasidagi qiymatiga aytiladi. [12].
2.2.1-Teorema: Faraz qilaylik
f (z)
da regulyar analitik, D ning yopig’ida
uzluksiz hamda (3.1) shartni, shu bilan birga
f (z)
funksiya
f (z)
,
z Г1
(2.2.2)
f (z) ( z) c ( z)
tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda (2.2.3) shart o’rinli.
Isbot: Quyidagi funksiyalarni qaraymiz.
(2.2.3)
(z) ln
f (z)
(2.2.4)
ma’lumki
(z)
funksiya D sohaning
f (z) 0
shartni qanoatlantiruvchi nuqtalarda
regulyar garmonik bo’ladi.
Agar
z0 D
nuqtada
f (z0 ) 0
bo’lsa, u holda
z z0
da ( )
bo’ladi.
(2.2.1), (2.2.2) dan
(z) ln ,
(z) ln c,
z Г1 z Г2
(2.2.5)
tenglikning o’rinli ekanligi kelib chiqadi. (2.2.4) va (2.2.5) ga ko’ra
(z) (z) ln 1 (z)ln c
funksiya uchun
(z) (z)
tengsizlik o’rinli
bo’ladi. Bundan isbotlanishi talab etilgan (2.2.3) tenglik kelib chiqadi. Korrekt masalalarni tekshirishda yechimning yagonaligi va turg’unligi o’rnatilgandan keyingi bosqich regulirizatsiyalovchi oilasini qurishning asosiy metodidan biri Karleman formulasi metodi hisoblanadi. [12].
2.2.2-Ta’rif: D soha va Г1 egri chiziqning Karleman funksiyasi deb, ikki
kompleks o’zgaruvchili va bitta haqiqiy o’zgaruvchining quyidagi ikki xossalarga
ega bo’lgan
G(z, , )
funksiyaga aytiladi.
1. G( z, , )
1 G( z, , )
bunda
G( z, , )
o’zgaruvchining
2. G(z, , )
funksiya
G(z, , ) d
Г
tengsizlikni qanoatlantiradi.
Karleman funksiyasi yordamida analitik davom ettirish masalasining regulirizatsiyasini quramiz. Quyida operatorlar oilasini qaraymiz.
Г1 da aniqlangan har bir uzluksiz (z) funksiyaga, D sohada
(z) 1 G(z, , )( )d
2i
Г
formula bilan aniqlangan (z) funksiya mos qo’yiladi. Bunday yo’l bilan
aniqlangan operatorlar oilasi qaralayotgan analitik davom ettirish masalasi uchun
regulirizatsiyalovchi oila bo’lishini ko’rsatamiz. Har bir oilasi uzluksiz bo’ladi. Bundan tashqari
0
uchun operatorlar
tenglikdan
G( x, , ) f ( ) d
Г
f ( z) 1 G( z, , ) f ( ) d
2 i
0
G(z, , )d
(2.2.6)
Г Г
tenglikni hosil qilamiz. Karleman funksiyasi ta’rifidan (2.2.6) ning o’ng
tomonidagi ikkinchi qo’shiluvchi
0
da nolga intilishi kelib chiqadi. Buni esa
regulirizatsiya masala shartida berilgan funksiya taqribiy berilganda taqribiy
yechimni toppish masalasiga qo’llaymiz. Bizga
berilgan bo’lsin:
Ã1 to’plamda
f z
funksiya
f z orqali
f z z ,
2i
f z 1 G z, , f d
z Г1
funksiyani belgilab
(2.2.7)
f z
Г1
2i
f z 1 Gz, , z f zd
Г1
1
2i
Gz, , f zd
Г2
ayirmani baholaymiz. (2.2.1) tengsizlik va Karleman funksiyasi ta’rifidan
Gz, , f zd
Г2
C
tengsizlik o’rinli ekanligi kelib chiqadi.
z,
belgilash kiritsak, (2.2.7) dan
G z, , d
Г1
bunda
z, C
f z desak, f z
f z z, C
f z 2 z, .
bo’ladi. [3].
Do'stlaringiz bilan baham: |