Respublikasi oliy

Ta`rif: Quyidagi ko`rinishdagi tenglamalarga kvazichiziqli tenglamalar deyiladi:


^a11


(x, y, u, u


_, u_y


)× u


₊ 2a₁₂


(x, y, u, u


_, u_y


)× u


₊ a₂₂


(x, y, u, u


_, u_y


)× u

• 
  F (x, y, u, u
  
• 
  
  

_, u_y


) = 0 .

• 
  x
  
• 
  xx
  
• 
  x
  
• 
  xy
  
• 
  x
  
• 
  yy
  
• 
  x
  
• 
  

Ta`rif: Tenglama chiziqli deyiladi, agarda u barcha xususiy hosilalarga va noma`lum funksiyaning o`ziga nisbatan ham chiziqli bo`lsa, ya`ni quyidagi ko`rinishga ega bo`lsa,
_{a11 (x, y)× uxx + 2a12 (x, y)× uxy + a22 (x, y)× uyy + b1 (x, y)× ux + b2 (x, y)× uy + c(x, y)× u + f (x, y) = 0 . (5)}


Ushbu tenglamada


<sub>a11 (x, y),


a12 (x, y),


a22 (x, y), b1 (x, y), b2 (x, y), c(x, y)</sub>


- (5)


tenglamaning koeffitsientlari,


f (x, y) - (5) tenglamaning ozod hadi deyiladi va ular


oldindan berilgan deb hisoblanadi.


Ta`rif: Agar (5) tenglamada


f (x, y) º 0


bo`lsa, u holda bu tenglama bir jinsli


tenglama deyiladi. Aks holda, agar


f (x, y) ¹ 0


bo`lsa, (5) tenglama bir jinsli


bo`lmagan differensial tenglama deyiladi.


Biz x va y erkli o`zgaruvchilarni teskari almashtirish natijasida, ya`ni


x = j(x, y), h = y (x, y)
(6)


berilgan chiziqli tenglamaga ekvivalent bo`lgan va soddaroq ko`rinishga ega bo`lgan tenglamaga ega bo`lishimiz mumkin.
Buning uchun (3) tenglamada x va y erkli o`zgaruvchilardan yangi x va h
o`zgaruvchilarga o`tamiz:


^{ux = ux xx + uhhx , ü}
x
xx
xx
ï
^u_{y = ux x y + uhhy ,} ^ï


x
xx
x
x
x
y
_u = u<sub>xx x 2 + 2uxh x h


+</sub> u_hhh ^{2 + u}<sub>x x


+</sub> u_{hh , ý}


^uxy


₌ u_xx


x_xx <sub>y


+</sub> u_xh


(x h


+ x _yh<sub>x


)</sub>+ u_hh


h_xh<sub>y


+</sub> u<sub>x x xy


+</sub> u<sub>hh


,ï
xy ï</sub>


u = u x ² + 2u x h


+ u h ² + u x


₊ u h . _ïþ


yy xx y


xh y y


hh y x yy


(7)


h yy


(7) ifodalarni (3) tenglamaga keltirib qo`yib, x va h o`zgaruvchilarga nisbatan (3) tenglamaga ekvivalent bo`lgan quyidagi tenglamani olamiz:


^a11


₍x,h)× u<sub>xx


+</sub> 2a<sub>12


(</sub>x,h)× u<sub>xh


+</sub> a<sub>22


(</sub>x,h)× u<sub>hh


+</sub> F(x,h,u,u<sub>x


,</sub>u_h


)= 0 ,
(8)


bu yerda
<sup>a11 = a x 2 + 2a x x


+</sup> a x ^{2 ,}


11 x


12 x y


22 y


^{a12 = a x h + a}


(x h


+h x


)+ a


x h ,


11 x x


12 x y x y


22 y y


<sup>a22 = a h 2 + 2a h h


+</sup> a h ^{2 ,}


11 x


12 x y


22 y


Ta`rif:


^a11


dy ² - 2a


_dxdy + a₂₂


dx² = 0


(9)
12
tenglama (3) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.


Ta`rif: (9) tenglamaning integrallari esa (3) tenglamaning xarakteristikalari deyiladi.
a
2
(9) tenglama quyidagi ikkita tenglamaga ajraladi:
<sub>dy =


a12 +</sub>


^{12 - a11}


_× a_{22 ,}


dx


_{dy =}


<sup>a12


a11</sup>
a
-
2
12


_- a<sub>11


×</sub> a_{22 .}


(10)


_{dx a11}
(11)


2
(9) yoki (10) va (11) yordamida berilgan (3)-tenglamaning xarakteristikalari topiladi.


a
2
Ta`rif: Agar qandaydir D sohada


^{12 - a11}


_× a_{22 > 0}


bo`lsa, (3) tenglama


a
giperbolik turga qarashli, agar D sohada


^{12 - a11}


_× a_{22 < 0}


bo`lsa, berilgan (3)


a
a
2
2
tenglama elliptik turga qarashli, agar D sohada turga qarashli deyiladi.


^{12 - a11}


_× a_{22 = 0}


bo`lsa, parabolik


Shunday qilib,


^{12 - a11}


_× a₂₂


ifodaning ishorasiga qarab (3) tenglamani


quyidagi kanonik ko`rinishlarga keltirilishi mumkin ekan.
a
2
^{12 - a11}


_× a_{22 > 0}


(giperbolik turda),


^uxx

• 
  _{uyy = F}
  
• 
  
  

yoki


^uxy


= F .


a
2
^{12 - a11}


_× a₂₂


< 0 (elliptik turda),


^uxx

• 
  _uyy
  
• 
  
  

= F .


a
2
^{12 - a11}


_× a_{22 = 0}


(parabolik turda)


^uxx


= F .
Bu yerda F soddalashtirish natijasida hosil bo`lgan funksiya.