|
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
MIRZO ULUG`BEK NOMIDAGI O`ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI JIZZAX FILILAI
Amaliy matematika fakulteti Iqtisodiyot yo`nalishi yo’nalishi
952-21 – guruh talabasi
O'ralov Hasanning Oliy matematik fanidan tayyorlagan
Nazorat ishi
Jizzax – 2022
BIRINCHI VA IKKINCHI TUR EGRI CHIZIQLI INTEGRALLAR
Tekis moddiy yoy massasi haqidagi masala. Tekislikda to‘g‘rilanuvchi
AB yoy berilgan bo‘lib, uning har bir (x,y) nuqtasidagi chiziqli zichligi bo‘lsin (1-rasm).
1-rasm
Egri chiziq yoyi massasini topish talab qilinsin.
Shu maqsadda egri chiziqni nuqtalar yordamida ixtiyoriy ravishda n ta bo‘lakka bo‘lamiz ( deb olamiz).
Egri chiziqning yoyidan biror nuqta olib, shu nuqtadagi zichlik ni hisoblab chiqamiz. Bu yoyning barcha nuqtalardagi zichlik ham taqriban ana shu ga teng deb hisoblasak va yoy uzunligini bilan belgilasak, bu yoyning massasi uchun
ushbu taqribiy ifodani hosil qilamiz. Izlanayotgan umumiy massa uchun esa
(1)
ifoda hosil bo‘ladi.
uzunliklarning eng kattasini bilan belgilab, limitga o‘tsak,
aniq formulaga ega bo‘lamiz.
Matematika va mexanikadagi ko‘pgina masalalarni yechish (1) ko‘rinishdagi yig‘indilarning limitini topishga olib keladi.
Umuman, shu xildagi limitlarni o‘rganaylik. Shu maqsadda ko‘rilayotgan masaladan bir oz chetga chiqamiz. Tekislikdagi to‘g‘rilanuvchi uzluksiz AB yoyda
aniqlangan funksiya olib, yuqorida tasvirlangan jarayonni takrorlaymiz: AB yoyni elementar yoylarga ajratib, ularda bittadan
nuqtalar tanlaymiz va funksiyaning shu nuqtalaridagi qiymatlari larni hisoblab,
(2)
yig‘indini tuzamiz, bu funksiyaning AB yoydagi integral yig‘indisi deyiladi.
(2) yig‘indi umuman olganda AB yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga
va bo‘lakchalardan nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq.
Ta’rif. Agar da (2) integral yig‘indi chekli limitga ega bo‘lib, u AB
yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan nuqtalarni
tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmasa, bu limit funksiyadan AB yoyi uzunligi bo‘yicha olingan birinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi va quyidagicha
belgilanadi: .
Bu holda funksiya AB yoy boyicha integrallanuvchi deyiladi.
Bu yerda s-AB yoyning uzunligi va ds-elementar uzunliklarni eslatadi.
Shunday qilib, yuqoridagi moddiy egri chiziqning massasi uchun chiqarilgan ifodani quyidagicha yozish mumkin:
(3)
Birinchi tur egri chiziqli integrallarning hossalari
1º. Agar funksiya AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya ham AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi
bo‘lib,
|
|
|
tenglik o‘rinli.
|
2º.
|
Agar
|
va
|
funksiyalarning har biri AB yoy bo‘yicha
|
integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiyalar ham AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lib,
tengliklar o‘rinli.
3º. (additivlik xossasi). Agar AB yoy biror C nuqta orqali ikkita AC va CB
yoylarga ajratilgan bo‘lib, funksiya AC va CB yoylarning har birirda integrallanuvchi bo‘lsa, u holda u AB yoy bo‘yicha ham integrallanuvchi bo‘lib,
tenglik o‘rinli.
4º. Agar integral mavjud bo‘lsa, u holda integral
ham mavjud bo‘lib, tenglik o‘rinli.
Bu xossalarni integral yig‘indi limiti sifatida osongina keltirib chiqarish mumkin.
Birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblash
Egri chiziqdagi M nuqtaning holati boshlang‘ich A nuqtadan hisoblangan yoy uzunligi s bilan aniqlanishi mumkin. U holda AB egri chiziq tenglamalar bilan parametrik ifodalanadi va egri chiziq nuqtalarida berilgan funksiya esa o‘zgaruvchi ning murakkab funksiyasi ga keltiriladi.
AB yoyning bo‘linish nuqtalariga mos s ning
qiymatini orqali belgilasak, u holda (2) integral yig‘indini quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
(4)
Bu funksiyaga mos kelgan integral yig‘indi va (2), (4) larga binoan, bo‘ladi.
Agar funksiya AB yoyda uzluksiz bo‘lsa, u holda
funksiyalar [0;S] segmentda uzluksiz bo‘lib, va integrallar mavjud va
(5)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda (R) Riman ma’nosidagi integralni bildiradi.
a) AB yoy
|
|
|
parametrik tenglama bilan berilgan
|
to‘g‘rilanuvchi
|
chiziq bo‘lsin.
|
|
funksiyalar oraliqda
|
uzluksiz
|
bo‘lsin.
|
Agar
|
o‘suvchi bo‘lsa, u
|
holda tenglik o‘rinli.
(5) tenglikning o‘ng tomonida o‘zgaruvchini almashtirib,
(6)
formulani hosil qilamiz.
b) AB yoy tenglama bilan berilgan bo‘lib, va lar oraliqda uzluksiz bo‘lsa, u holda (6) formula
(7)
ko‘rinishni oladi.
Agar chiziq tenglik bilan berilgan bo‘lsa, u
holda formulaga ega bo‘lamiz.
Ikkinchi tur egri chiziqli integral
massaga ta’sir qiluvchi kuch berilgan bo‘lsin. Bu holda D sohada kuch maydoni berilgan deyiladi.
Aytaylik, kuch maydoni ta’sirida moddiy nuqta D sohada joylashgan to‘g‘rilanuvchi BC chiziq bo‘ylab harakat qilsin. Moddiy nuqtani kuch maydoni ta’sirida B nuqtadan C nuqtaga o‘tguncha bajargan A ishini topish talab qilingan bo‘lsin (3-rasm).
3-rasm
Masalani hal qilish uchun BC yoyni nuqtalar yordamida ixtiyoriy ravishda n ta bo‘lakka ajratamiz. Bir xillik bo‘lishi
uchun deb belgilaylik. nuqtaning
koordinatalarini orqali belgilab, va nuqtalarni to‘g‘ri chiziq kesmasi bo‘yicha tutashtirib, BC chiziqqa ichki chizilgan siniq
chiziqni hosil qilamiz. yoyda ixtiyoriy nuqta olib kuchning bu nuqtadagi qiymatini orqali belgilaymiz.
to‘g‘ri chiziq kesmasida ta’sir etuvchi kuch o‘zgarmas va
u deb olsak, u holda kuchning to‘g‘ri chiziqli qismda bajargan ishi quyidagi formula bo‘yicha topiladi:
, (1)
bu yerda vektorning uzunligi, vektorning uzunligi, esa va vektorlar orasidagi burchak.
kuchning abssissa va ordinata o‘qlaridagi proyeksiyalarini mos ravishda va orqali belgilasak, u
holda va
tengliklarga ega bo‘lamiz, bu yerda va lar birlik vektorlar.
va lar vektorning abssissa va ordinata o‘qlaridagi proyeksiyalari bo‘lgani uchun, quyidagi tenglikni yozib
olamiz:
tenglikning o‘ng tomoni va vektorlarning skalyar
ko‘paytmasi bo‘lgani uchun tenglikni hosil qilamiz.
Yuqoridagi farazimiz bo‘yicha moddiy nuqta kuch
ta’sirida siniq chiziq bo‘ylab, B nuqtadan C nuqtaga o‘tganda bajargan ishi quyidagicha topiladi:
bo‘lakchalar qancha kichik bo‘lsa, ning qiymati kuch
maydonining bajargan ishi A ga yetarlicha yaqin bo‘ladi. bo‘lakchalarning uzunliklarining eng kattasi deb olaylik.
Agar (2) yig‘indi da limitga ega bo‘lib, bu limit BC yoyni bo‘laklarga
bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda bu limit kuch maydonining BC yoy bo‘ylab, B dan C ga o‘tganda bajargan ishi deb olinadi, ya’ni
.
Agar yoki bo‘lsa, u holda (2) formula o‘rniga mos ravishda quyidagi yug‘indilarga ega bo‘lamiz:
(3).
Ko‘pgina nazariy va tatbiqiy masalalarni yechish (2) va (3) yig‘indilarni limitlarini topishga keltiriladi. Shuning uchun bunday yig‘indilarning limitlarini topishni o‘rganish katta ahamiyatga ega.
Do'stlaringiz bilan baham: |
