Ikkinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalarning klassifikasiyasi

Aim.uz

Ikkinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalarning klassifikasiyasi

O’tgan ma’ruzada berilgan ta’riflarni eslaymiz.

Ta’rif: E² fazoda ikkinchi tartibli xususiy hosilalarga ega bo’lgan biror bir funksiya berilgan (bunda ) bo’lsin. Shunda xususiy hosilali umumiy tenglama deb tenglamaga aytiladi. Bunda F qandaydir funksiya. Kvazichiziqli tenglama uning xususiy holidan iborat

Bizni yuqori tartibli xosilalarga nisbatan chiziqli tenglamalar, ya’ni funksiyalari faqat (x, y) o’zgurvchilarga bog’liq bo’lgan hollar qiziqtiradi.

Tenglama chiziqli deyiladi, agar u nafaqat yuqori tartibli hosilalari ga nisbatan balki u funksiya va uning birinchi tartibli hosilalariga nisbatan chiziqli bo’lsa.

(1.3.1)

Bu yerda - koeffisiyentlar faqat x va y bo’yicha o’zgaradi.

Ta’rif: Agar bo’lsa shunda (1.3.1) tenglama bir jinsli tenglama, aks holda bir jinsli bo’lmagan tenglama deb aytiladi.

Ta’rif: (x₀ , y₀) nuqtada (1.3.1) tenglama quyidagicha aniqlanadi.

1. 
   Agar bo’lsa, giperbolik tipdagi bo’ladi.
   
2. 
   Agar bo’lsa, elliptik tipdagi bo’ladi.
   
3. 
   Agar bo’lsa, parabolik tipdagi bo’ladi.
   

Tenglamaning tipi ma’lum bir soha uchun ham xuddi shunday aniqlanadi: (1.3.1) tenglama sohada (elliptik), (giperbolik), (parabolik) tipdagi deb ataladi, agar shu soha barcha nuqtalarda bo’lsa. Agar tenglama sohaning har xil nuqtalarida xar xil tipga ega bo’lsa, bunda u shu sohada aralash tipdagi tenglama teyiladi.

Giperbolik tipdagi tenglamalar.

1. 
   Tebranish tenglamasi uchun masalaning qo’yilishi.
   

Bizlar giperbolik tipdagi tenglamani ko’rib chiqammiz.

Faraz qilaylik bo’lsin, shunda

(1.3.2)

Tenglama ideal torning tebranish tenglamasi deyiladi.

Ikki fazoviy o’zgaruvchilarning funksiyasi holida:

bu elastik membrananing tebranish tenglamasi.

(1.3.2) tenglamani qaraymiz. Biz quyidagi boshlang’ich shartlarni berishimiz mumkin:

− torninng muvozanat holatidan chetlanishini izohlaydi;

va chegaraviy shartlarni:

odatda bizlar ulardan ba’zilarini olamiz.

Giperbolik yoki tebranish tenglamalar uchun chegaraviy masalalar tuzamiz.

Birinchi chegaraviy masala.

Xuddi shuni o’zi yarim to’g’ri chiziq uchun :

Shuningdek oddiy Koshi masalasini qarash mumkin: